Câu 3 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao, Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và...

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’, I là giao điểm của hai đường thẳng AB’ và A’B. Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG’ song song với nhau.

Giải

Đặt (overrightarrow {AA’}  = overrightarrow a ,overrightarrow {AB}  = overrightarrow b ,overrightarrow {AC}  = overrightarrow c )

Thì (overrightarrow {AG}  = {1 over 3}left( {overrightarrow b  + overrightarrow c } ight),overrightarrow {AI}  = {1 over 2}left( {overrightarrow a  + overrightarrow b } ight))

Do đó, (overrightarrow {GI}  = overrightarrow {AI}  – overrightarrow {AG}  = {{3overrightarrow a  + overrightarrow b  – 2overrightarrow c } over 6})

Mặt khác : (overrightarrow {AG’}  = {1 over 3}left( {overrightarrow {AA’}  + overrightarrow {AB’}  + overrightarrow {AC’} } ight) = overrightarrow a  + {1 over 3}left( {overrightarrow b  + overrightarrow c } ight))

( Rightarrow overrightarrow {CG’}  = overrightarrow {AG’}  – overrightarrow {AC}  = overrightarrow a  + {1 over 3}left( {overrightarrow b  + overrightarrow c } ight) – overrightarrow c  )

               (= {{3overrightarrow a  + overrightarrow b  – 2overrightarrow c } over 3})

Vậy (overrightarrow {CG’}  = 2overrightarrow {GI} .) Ngoài ra, điểm G không thuộc đường thẳng CG’ nên GI và CG’ là hai đường thẳng song song.