Câu 4 trang 91 SGK Hình 11 Nâng cao, Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD’; G và G’ lần lượt là...

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD’; G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A’D’MN và BCC’D’. Chứng minh rằng đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau.

Giải

Đặt (overrightarrow {AB}  = overrightarrow a ,overrightarrow {AD}  = overrightarrow b ,overrightarrow {AA’}  = overrightarrow c .)

Vì G’ là trọng tâm tứ diện BCC’D’ nên (overrightarrow {AG’}  = {1 over 4}left( {overrightarrow {AB}  + overrightarrow {AC}  + overrightarrow {AC’}  + overrightarrow {AD’} } ight))

Và G là trọng tâm tứ diện A’D’MN nên

(eqalign{  & overrightarrow {AG}  = {1 over 4}left( {overrightarrow {AA’}  + overrightarrow {AD’}  + overrightarrow {AM}  + overrightarrow {AN} } ight)  cr  &  Rightarrow overrightarrow {GG’}  = overrightarrow {AG’}  – overrightarrow {AG} cr& = {1 over 4}left( {overrightarrow {A’B}  + overrightarrow {D’C}  + overrightarrow {MC’}  + overrightarrow {ND’} } ight)  cr  &  = {1 over 4}left( {overrightarrow a  – overrightarrow c  + overrightarrow a  – overrightarrow c  + {1 over 2}overrightarrow a  + overrightarrow c  + {1 over 2}overrightarrow c } ight)  cr  &  = {1 over 8}left( {5overrightarrow a  – overrightarrow c } ight) = {1 over 8}left( {5overrightarrow {AB}  – overrightarrow {AA’} } ight) cr} )

Do đó (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AA’} ,overrightarrow {GG’} ) đồng phẳng. Mặt khác, G không thuộc mặt phẳng (ABB’A’) nên đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau.