Câu 2.5 trang 54 SBT môn Toán 8 tập 2: Cho x > 0, chứng tỏ...

a. Cho x > 0, chứng tỏ

(x + {1 over 2} ge 2)

b. Từ kết quả câu a, nếu x < 0 sẽ có kết quả nào ?

Giải:

a. Nếu có (x + {1 over 2} ge 2)  thì suy ra (x + {1 over x} ge 2)

nên ta sẽ chứng tỏ (x + {1 over x} – 2 ge 0)

Ta có, (x + {1 over x} – 2 = {{{x^2} + 1 – 2x} over x} = {{{{left( {x – 1} ight)}^2}} over x})

Vì ({left( {x – 1} ight)^2} ge 0) với x bất kì và x > 0 nên ({{{{left( {x – 1} ight)}^2}} over x} ge 0)

Vậy (x + {1 over x} – 2 ge 0) , nghĩa là (x + {1 over x} ge 2)

b. Nếu x < 0, ta đặt a = -x thì a > 0

Từ kết quả câu a, ta có (a + {1 over a} ge 2)

Thay a = -x, ta có:

( – x = {1 over { – x}} ge 2)            (1)

Nhân hai vế của (1) với số -1, ta có:

(x + {1 over x} le  – 2)

Vậy, với x < 0 thì (x + {1 over x} le  – 2)