Câu 19 trang 53 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của AD, J là điểm đối xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B.

19. Trang 53 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của AD, J là điểm đối xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B.

a) Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mp(IJK).

b) Tính diện tích thiết diện được xác định bởi câu a.

Giải

a) Nối I và J cắt AC tại N. Nối I và K cắt AB tại M. Tam giác IMN là thiết diện cần tìm.

b) Dễ thấy M là trọng tâm tam giác ADK, N là trọng tâm tam giác ADJ. Từ đó ta có:

(AN = {2 over 3}AC;;AM = {2 over 3}AB)

Suy ra: (AN = AM = {2 over 3}a) và MN//CB. Do đó (MN = {2 over 3}CB)

hay (MN = {2 over 3}a.)

Xét tam giác AIM. Ta có:

(eqalign{
& I{M^2} = A{I^2} + A{M^2} - 2AI.AM.cos {60^o} cr
& ,,,,,,,,,,, = {{{a^2}} over 4} + {4 over 9}{a^2} - 2.{a over 2}.{{2a} over 3}.{1 over 2} = {{13} over {36}}{a^2} cr
& Rightarrow IM = {{asqrt {13} } over 6} cr} )

Tương tự, ta có (IN = {{asqrt {13} } over 6})

Vậy theo công thức Hê-rông, ta có:

({S_{IMN}} = sqrt {left( {{{asqrt {13} } over 6} + {2 over 6}a} ight).{2 over 6}a.{2 over 6}a.left( {{{asqrt {13} } over 6} - {2 over 6}a} ight)} )

            (= {{{a^2}} over 6}.)

zaidap.com