Câu 17 trang 7 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.

Chứng tỏ rằng F là phép dời hình.

17. Trang 7 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép biến hình F biến mỗi điểm (Mleft( {x;y} ight)) thành điểm (M'left( {x';y'} ight)) sao cho:

(left{ matrix{
x' = ax + by + p hfill cr
y' = cx + dy + q hfill cr} ight.)

Trong đó: ({a^2} + {c^2} = {b^2} + {d^2} = 1,;,ab + cd = 0)

Chứng tỏ rằng F là phép dời hình.  

Giải

Ta lấy hai điểm bất kì (M = left( {{x_o};{y_o}} ight)) và (Nleft( {{x_1};{y_1}} ight)). Khi đó F biến M, N lần lượt thành M’, N’ có tọa độ:

(M' = left( {a{x_o} + b{y_o} + p;,c{x_o} + d{y_o} + q} ight))

và (N' = left( {a{x_1} + b{y_1} + p;,c{x_1} + d{y_1} + q} ight))

Suy ra:

(eqalign{
 M'N{'^2} &= {left[ {aleft( {{x_1} - {x_o}} ight) + bleft( {{y_1} - {y_o}} ight)} ight]^2} cr&;;+ {left[ {cleft( {{x_1} - {x_o}} ight) + dleft( {{y_1} - {y_o}} ight)} ight]^2} cr
&  = left( {{a^2} + {c^2}} ight){left( {{x_1} - {x_o}} ight)^2} cr&;;+ left( {{b^2} + {d^2}} ight){left( {{y_1} - {y_o}} ight)^2}cr& ;;+ 2left( {ab + cd} ight)left( {{x_1} - {x_o}} ight)left( {{y_1} - {y_o}} ight) cr
&  = {left( {{x_1} - {x_o}} ight)^2} + {left( {{y_1} - {y_o}} ight)^2} cr
& = M{N^2} cr} )

Như vậy M’N’ = MN

Vậy F là phép dời hình.

zaidap.com