Câu 159 trang 100 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Chứng minh rằng D đối xứng với E qua A ...
Chứng minh rằng D đối xứng với E qua A
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, gọi E là điểm đối xứng với H qua AC.
a. Chứng minh rằng D đối xứng với E qua A
b. Tam giác DHE là tam giác gì ? Vì sao ?
c. Tứ giác BDEC là hình gì ? Vì sao ?
d. Chứng minh rằng BC = BD + CE.
Giải:
a. Điểm D đối xứng điểm H qua trục AB
⇒ AB là đường trung trực của HD
⇒ AH = AD (tính chất đường trung trực) ⇒ ∆ ADH cân tại A
Suy ra: AB là tia phân giác của (widehat {DAH} Rightarrow widehat {DAB} = {widehat A_1})
Điểm H và điểm E đối xứng qua trục AC
⇒ AC là đường trung trực của HE
⇒ AH = AE (tính chất đường trung trực) ⇒ ∆ AHE cân tại A
Suy ra: AC là đường phân giác của (widehat {HAE} Rightarrow {widehat A_2} = widehat {EAC})
(widehat {DAE} = widehat {DAH} + widehat {HAE} = 2left( {{{widehat A}_1} + {{widehat A}_2}} ight) = {2.90^0} = {180^0})
D, A, E thẳng hàng
AD = AE (vì cùng bằng AH)
nên điểm A là trung điểm của đoạn DE
Vậy điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.
b) Tam giác DHE có HA là trung tuyến và (AH = {1 over 2}DE)
nên tam giác DHE vuông tại H.
c) Xét (Delta ADB) và ( Delta AHB) có:
+) AB chung
+) BD = BH ( vì AB là trung trực của DH)
+) AD = AH (vì AB là trung trực của DH)
(Rightarrow Delta ADB = Delta AHB;(c.c.c))
( Rightarrow widehat {AHB} = widehat {ADB}=90^0) (hai góc tương ứng)
Xét (Delta AEC) và ( Delta AHC) có:
+) AC chung
+) EC = HC ( vì AC là trung trực của EH)
+) AE = AH (vì AC là trung trực của EH)
(Rightarrow Delta AEC = Delta AHC;(c.c.c))
( Rightarrow widehat {AHC} = widehat {AEC}=90^0) (hai góc tương ứng)
Suy ra BD//CE (vì cùng vuông góc với DE)
Do đó tứ giác BDEC là hình thang có 2 góc vuông kề cạnh bên DE nên BDEC là hình thang vuông.
d) Do AB là đường trung trực của DH nên BD=BH (5)
Do AC là đường trung trực của EH nên CE=CH (6)
Cộng vế với vế của (5) và (6) ta có BD+CE=BH+CH hay BD+CE=BC
Sachbaitap.com
