Câu 11 trang 96 Toán Hình 11 Nâng cao, Cho hình tứ diện ABCD có AB = AC = AD và...

Cho hình tứ diện ABCD có AB = AC = AD và (widehat {BAC} = 60^circ ,widehat {BAD} = 60^circ .)

Chứng minh rằng :

a. AB ⊥ CD;

b. Nếu I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì (IJ ot AB) và (IJ ot CD.)

Giải

a. Ta có:

(eqalign{  & overrightarrow {AB} .overrightarrow {CD}  = overrightarrow {AB} .left( {overrightarrow {AD}  – overrightarrow {AC} } ight) = overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD}  – overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC}   cr  &  = AB.AD.cos widehat {BAD} – AB.AC.cos widehat {BAC} = 0  cr  &  Rightarrow AB ot CD. cr} )

b.

Ta có:

(eqalign{  & overrightarrow {IJ}  = overrightarrow {IA}  + overrightarrow {AJ}   cr  &  = {1 over 2}overrightarrow {BA}  + {1 over 2}left( {overrightarrow {AD}  + overrightarrow {AC} } ight)  cr  &  = {1 over 2}left( {overrightarrow {AD}  + overrightarrow {BC} } ight)  cr  &  = {1 over 2}left( {overrightarrow {AD}  + overrightarrow {AC}  – overrightarrow {AB} } ight) cr} )

Suy ra :

(eqalign{  & overrightarrow {AB} .overrightarrow {IJ}  = {1 over 2}left( {overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD}  + overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC}  – A{B^2}} ight)  cr  &  ={1 over 2} left( {AB.AD.cos 60^circ } + AB.AC.cos 60^circ  – A{B^2}  ight) cr&= 0  cr  &  Rightarrow AB ot IJ cr} )

Mặt khác :

(eqalign{  & overrightarrow {CD} .overrightarrow {IJ}  = {1 over 2}left( {overrightarrow {CA}  + overrightarrow {AD} } ight).left( {overrightarrow {AD}  + overrightarrow {BA}  + overrightarrow {AC} } ight)  cr  &  = {1 over 2}left( { – overrightarrow {AC} .overrightarrow {AD}  + {{overrightarrow {AD} }^2} + overrightarrow {CA} .overrightarrow {BA}  + overrightarrow {AD} .overrightarrow {BA}  – {{overrightarrow {AC} }^2} + overrightarrow {AD} .overrightarrow {AC} } ight)  cr  &  =  – {1 over 2}overrightarrow {AB} .left( {overrightarrow {CA}  + overrightarrow {AD} } ight) =  – {1 over 2}overrightarrow {AB} .overrightarrow {CD}  = 0  cr  &  Rightarrow CD ot IJ cr} )