Câu 104 trang 152 Sách bài tập Toán lớp 7 tập 1: a) Tam giác ABC là tam giác gì ? Chứng minh điều đó...

Cho tam giác ADE cân tại A. Trên cạnh DE lấy các điểm B và C sao cho ({ m{D}}B = EC = {1 over 2}DE)

a) Tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh điều đó?

b) Kẻ (BM ot A{ m{D}}) kẻ (C{ m{N}} ot { m{AE}}). Chứng minh rằng BM = CN.

c) Gọi I là giao điểm MB và NC. Tam giác IBC là tam giác gì? Chứng minh điều đó.

d) Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc BAC.

Giải

Xét ∆ADE cân tại A nên (widehat D = widehat E)

Xét ∆ABD và ∆ACE, ta có:

                     AD = AE (gt)

                     (widehat D = widehat E) (chứng minh trên)

                      DB = EC (gt)

Suy ra: ∆ABD = ∆ACE (c.g.c)

Suy ra: AB = AC (hai cạnh tương ứng)

Vậy ∆ABC cân tại A.

b) Xét hai tam giác vuông BMD và CNE, ta có:

                   (widehat {BM{ m{D}}} = widehat {CNE} = 90^circ )

                   BD = CE (gt)

                   (widehat D = widehat E) (chứng minh trên)

Suy ra: ∆BMD = ∆CNE (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: BM = CN (hai cạnh tương ứng)

c) Ta có: ∆BMD =  ∆CNE (chứng minh trên)

Suy ra: (widehat {DBM} = widehat {ECN}) (hai góc tương ứng)

             (widehat {DBM} = widehat {IBC}) (đối đỉnh)

             (widehat {ECN} = widehat {ICB}) (đối đỉnh)

Suy ra: (widehat {IBC} = widehat {ICB}) hay ∆IBC cân tại I.

d) Xét ∆ABI và ∆ACI, ta có:

                  AB = AC (chứng minh trên)

                   IB = IC (vì  ∆IBC cận tại I)

                   AI cạnh chung

Suy ra: ∆ABI = ∆ACI (c.c.c) ( Rightarrow widehat {BAI} = widehat {CAI}) (hai góc tương ứng)

Vậy AI là tia phân giác của (widehat {BAC})