Câu 10 trang 107 SGK Đại số 10

Câu 10 trang 107 SGK Đại số 10

Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng:

Bài 10. Cho (a>0, b>0). Chứng minh rằng: ({a over {sqrt b }} + {b over {sqrt a }} ge sqrt a  + sqrt b )

Trả lời:

Đặt (x=sqrt a, y = sqrt b) ( ta có (x>0) và (y>0))

 ({a over {sqrt b }} = {{{x^2}} over y};{b over {sqrt a }} = {{{y^2}} over x})

Suy ra: ({a over {sqrt b }} + {b over {sqrt a }} = {{{x^2}} over y} + {{{y^2}} over x} = {{{x^3} + {y^3}} over {xy}} = {{(x + y)({x^2} + {y^2} - xy)} over {xy}}) (1)

Mà (x^2+y^2≥ 2xy) (Bất đẳng thức Cô-si)

Nên (x^2+y^2- xy ≥ xy ⇔) ({{{x^2} + {y^2} - xy} over {xy}} ge 1)

Do đó (1) ({{{x^3} + {y^3}} over {xy}}≥ x+y ⇔ {{{x^2}} over y} + {{{y^2}} over x} ge x + y)

(⇔ {a over {sqrt b }} + {b over {sqrt a }} ge sqrt a  + sqrt b )

soanbailop6.com