Câu 12 trang 107 SGK Đại số 10

Câu 12 trang 107 SGK Đại số 10

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai , chứng minh rằng:

Bài 12. Cho (a, b, c) là độ dài ba cạnh của một tam giác. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai , chứng minh rằng: ({b^2}{x^{2}}-{ m{ }}({b^2} + {c^2}-{ m{ }}{a^2})x{ m{ }} + {c^2} > 0,{ m{ }}forall x)

Trả lời:

Biệt thức của tam thức vế  trái:

({Delta { m{ }} = { m{ }}{{left( {{b^2} + {c^2}-{ m{ }}{a^2}} ight)}^2}-{ m{ }}4{b^2}{c^2}})

({ = { m{ }}left( {{b^2} + {c^2}-{ m{ }}{a^{2}} + { m{ }}2bc} ight){ m{ }}left( {{b^2} + {c^2}-{ m{ }}{a^2} - 2bc} ight)})

({ = { m{ }}left[ {{{left( {b + c} ight)}^2}-{ m{ }}{a^2}} ight]left[ {{{left( {b - c} ight)}^2}-{ m{ }}{a^2}} ight]})

({ = { m{ }}left( {b + a + c} ight)left( {b + c{ m{ }}-{ m{ }}a} ight)left( {b{ m{ }}-{ m{ }}c + a} ight)left( {b{ m{ }}-{ m{ }}c{ m{ }}-{ m{ }}a} ight){ m{ }} < 0})

(vì trong một tam giác tổng của hai cạnh lớn hơn cạnh thứ ba (b+a+c>0; b+c – a>0; b – c+a>0; b – c – a<0))

Do đó tam giác cùng dấu với (b^2>0, ∀x).

Nghĩa là: ({b^2}{x^{2}}-{ m{ }}({b^2} + {c^2}-{ m{ }}{a^2})x{ m{ }} + {c^2} > 0,{ m{ }}forall x)

soanbailop6.com