Câu 1.2 trang 156 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Chứng minh MNP là tam giác đều.

a. Cho tam giác đều ABC. Gọi M,N,P tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh MNP là tam giác đều.

b. Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N, P, Q tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CD, DA, AB. Chứng minh MNPQ là hình vuông (tứ giác đều)

c. Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi M, N, P, Q,, R tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CD, DE, EA, AB. Chứng minh MNPQR là ngũ giác đều.

Giải:                                                         

a. Ta có: M là trung điểm của BC

N là trung điểm của AC

nên MN là đường trung bình của ∆ ABC ⇒ MN = ({1 over 2})AB

Ta có: P là trung điểm của AB nên MP là đường trung bình của ∆ ABC

 ⇒ MP = ({1 over 2})AC

NP là đường trung bình của ∆ ABC ⇒ NP = ({1 over 2})BC

mà AB = BC = AC (gt) ⇒ MN = MP = NP. Vậy ∆ MNP đều

b.

Xét ∆ APQ và ∆ BQM:

AQ = BQ (gt)

(widehat A = widehat B = {90^0})

AP = BM (gt)

Do đó: ∆ APQ = ∆ BQM (c.g.c) ⇒ PQ = QM (1)

Xét ∆ BQM và ∆ CMN:

BM = CM (gt)

(widehat B = widehat C = {90^0})

BQ = CN (gt)

Do đó: ∆ BQM = ∆ CMN (c.g.c) ⇒ QM = MN (2)

Xét ∆ CMN và ∆ DNP:

CN = DN (gt)

(widehat C = widehat D = {90^0})

CM = DP (gt)

Do đó: ∆ CMN = ∆ DNP (c.g.c) ⇒ MN = NP (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: MN = NP = PQ = QM

nên tứ giác MNPQ là hình thoi

Vì AP = AQ nên ∆ APQ vuông cân tại A

BQ = BM nên ∆ BMQ vuông cân tại B

( Rightarrow widehat {AQP} = widehat {BQM} = {45^0})

(widehat {AQP} + widehat {PQM} + widehat {BQM} = {180^0}) (kề bù)

( Rightarrow widehat {PQM} = {180^0} - left( {widehat {AQP} + widehat {BQM}} ight))

(= {180^0} - left( {{{45}^0} + {{45}^0}} ight) = {90^0})

Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông.

c.

Xét ∆ ABC và ∆ BCD:

AB = BC (gt)

(widehat B = widehat C) (gt)

BC = CD (gt)

Do đó: ∆ ABC = ∆ BCD (c.g.c)

⇒ AC = BD (1)

Xét ∆ BCD và ∆ CDE:

BC = CD (gt)

(widehat C = widehat D) (gt)

CD = DE (gt)

Do đó: ∆ BCD = ∆ CDE (c.g.c) ⇒ BD = CE (2)

Xét ∆ CDE và ∆ DEA:

CD = DE (gt)

(widehat D = widehat E) (gt)

DE = EA (gt)

Do đó: ∆ CDE = ∆ DEA (c.g.c) ⇒ CE = DA (3)

Xét ∆ DEA và ∆ EAB:

DE = EA (gt)

(widehat E = widehat A) (gt)

EA = AB (gt)

Do đó: ∆ DEA = ∆ EAB (c.g.c) ⇒ DA = EB (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: AC = BD = CE = DA = EB

Trong ∆ ABC ta có RM là đường trung bình

⇒ RM = ({1 over 2})AC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Mặt khác, ta có: Trong ∆ BCD ta có MN là đường trung bình

⇒ MN = ({1 over 2})BD (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong ∆ CDE ta có NP là đường trung bình

⇒ NP = ({1 over 2})CE (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong ∆ 9DEA ta có PQ là đường trung bình

⇒ PQ = {1 over 2})DA (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong ∆ EAB ta có QR là đường trung bình

⇒ QR = ({1 over 2})EB (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra: MN = NP = PQ = QR = RM

Ta có: (widehat A = widehat B = widehat C = widehat D = widehat E = {{left( {5 - 2} ight){{.180}^0}} over 5} = {108^0})

∆ DPN cân tại D

( Rightarrow widehat {DPN} = widehat {DNP} = {{{{180}^0} - widehat D} over 2} = {{{{180}^0} - {{108}^0}} over 2} = {36^0})

∆ CNM cân tại C

( Rightarrow widehat {CNM} = widehat {CMN} = {{{{180}^0} - widehat C} over 2} = {{{{180}^0} - {{108}^0}} over 2} = {36^0})

(widehat {ADN} + widehat {PNM} + widehat {CNM} = {180^0})

( Rightarrow widehat {PNM} = {180^0} - left( {widehat {ADN} + widehat {CNM}} ight))

(= {180^0} - left( {{{36}^0} + {{36}^0}} ight) = {108^0})

∆ BMR cân tại B

 (eqalign{  &  Rightarrow widehat {BMR} = widehat {BRM} = {{180^circ  - widehat B} over 2} = {{180^circ  - 108^circ } over 2} = 36^circ   cr  & widehat {CMN} + widehat {NMR} + widehat {BMR} = 180^circ   cr &  Rightarrow widehat {NMR} cr  &= 180^circ  - left( {widehat {CMN} + widehat {BMR}} ight)  cr  & = 180^circ  - left( {36^circ  + 36^circ } ight) = 108^circ  cr} )

∆ ARQ cân tại A

(eqalign{  &  Rightarrow widehat {ARQ} = widehat {AQR} = {{180^circ  - widehat A} over 2} = {{180^circ  - 108^circ } over 2} = 36^circ   cr  & widehat {BRM} + widehat {MRQ} + widehat {ARQ} = 180^circ   cr  &  Rightarrow widehat {MRQ} = 180^circ  - left( {widehat {BRM} + widehat {ARQ}} ight) cr  & = 180^circ  - left( {36^circ  + 36^circ } ight) = 108^circ  cr} )

∆ QEP cân tại E

(eqalign{  &  Rightarrow widehat {EQP} = widehat {EPQ} = {{180^circ  - widehat E} over 2} = {{180^circ  - 108^circ } over 2} = 36^circ   cr  & widehat {AQR} + widehat {RQP} + widehat {EQP} = 180^circ   cr  &  Rightarrow widehat {RQP} = 180^circ  - left( {widehat {AQR} + widehat {EQP}} ight) cr  & = 180^circ  - left( {36^circ  + 36^circ } ight) = 108^circ   cr  & widehat {EPQ} + widehat {QPN} + widehat {DPN} = 180^circ   cr  &  Rightarrow widehat {QPN} = 180^circ  - left( {widehat {EPQ} + widehat {DPN}} ight) cr  & = 180^circ  - left( {36^circ  + 36^circ } ight) = 108^circ  cr} )

Suy ra : (widehat {PNM} = widehat {NMR} = widehat {MRQ} = widehat {RQP} = widehat {QPN})

Vậy MNPQR là ngũ giác đều.

Sachbaitap.com