Các phép biến đổi trong đồ họa hai chiều

Một phép biến đổi hai chiều sẽ biến đổi điểm P trong mặt phẳng thành điểm có tọa độ mới Q theo một quy luật nào đó. Về mặt bản chất, một phép biến đổi điểm là một ánh xạ T được định nghĩa :

Nói cách khác, T là hàm số theo hai biến :

Phép biến đổi affine là phép biến đổi với và là các hàm tuyến tính. Phép biến đổi này có dạng :

.

Ta chỉ khảo sát các phép biến đổi affine nên từ nay về sau ta dùng cụm từ "phép biến đổi" thay cho "phép biến đổi affine".

Phép tịnh tiến

Để tịnh tiến một điểm từ vị trí này sang vị trí khác trong mặt phẳng, ta cộng thêm các giá trị mô tả độ dời vào các tọa độ của P. Nếu gọi và lần lượt là độ dời theo trục hoành và trục tung thì tọa độ của điểm mới sẽ là :

,

còn được gọi là vector tịnh tiến hay vector độ dời.

Chúng ta có thể dịch chuyển toàn bộ một đối tượng bằng cách áp dụng quy tắc trên cho mọi điểm thuộc đối tượng. Để tịnh tiến một đoạn thẳng, đơn giản chỉ cần tịnh tiến hai điểm đầu và cuối của nó rồi sau đó vẽ lại đoạn thẳng nối hai điểm mới. Với đa giác, ta tịnh tiến các đỉnh của nó sau đó vẽ lại đa giác với các đỉnh mới. Một cách tương tự, để tịnh tiến các đối tượng như đường tròn, ellipse, ta tịnh tiến tâm của chúng tới vị trí mới rồi vẽ lại.

Hình 3.1 – Phép tịnh tiến một điểm (a) và đối tượng với vector tịnh tiến (-4,2) (b)

1.2. Phép biến đổi tỉ lệ

Phép biến đổi tỉ lệ làm thay đổi kích thước đối tượng. Để co hay giãn tọa độ của một điểm theo trục hoành và trục tung lần lượt làvà, ta nhân và lần lượt cho các tọa độ của P.

, và được gọi là các hệ số tỉ lệ.

Khi các giá trị , nhỏ hơn 1, phép biến đổi sẽ thu nhỏ đối tượng, ngược lại khi các giá trị này lớn hơn 1, phép biến đổi sẽ phóng lớn đối tượng. Khi , bằng nhau, ta gọi đó là phép đồng dạng (uniform scaling), phép đồng dạng là phép biến đổi bảo toàn tính cân xứng của đối tượng.

Tâm tỉ lệ là điểm không bị thay đổi qua phép biến đổi tỉ lệ. Phép biến đổi tỉ lệ mô tả như trên còn gọi là phép biến đổi tỉ lệ quanh gốc tọa độ vì có tâm tỉ lệ là gốc tọa độ. Nhận xét rằng khi phép biến đổi tỉ lệ thu nhỏ đối tượng, đối tượng sẽ được dời về gần gốc tọa độ hơn, tương tự khi phóng lớn đối tượng, đối tượng sẽ được dịch chuyển xa gốc tọa độ hơn.

Hình 3.2 – Phép biến đổi tỉ lệ với và

Phép quay

Phép quay làm thay đổi hướng của đối tượng. Một phép quay đòi hỏi phải có tâm quay, góc quay. Góc quay dương thường được quy ước là chiều ngược chiều kim đồng hồ. Ta có công thức biến đổi của phép quay điểm quanh gốc tọa độ một góc :

Hình 3.3 – Phép quay một đối tượng quanh gốc tọa độ một góc 60⁰

Biểu diễn ma trận của phép biến đổi

Trong nhiều ứng dụng đồ họa, người dùng thường xuyên có nhu cầu thực hiện nhiều phép biến đổi hình học khác nhau trên một đối tượng để tạo ra các hiệu quả như mong muốn. Ví dụ trong các ứng dụng thiết kế, chúng ta cần phải thực hiện nhiều phép tịnh tiến, quay, tỉ lệ để có thể khớp từng phần của đối tượng vào đúng vị trí của chúng, hay sau khi thực hiện các phép biến đổi nhưng không được ưng ý, người dùng muốn trở lại hiện trạng trước khi biến đổi (undo), … Do đó cần phải có một cách nào đó để có thể xử lí dãy các phép biến đổi trên được nhanh chóng và hiệu quả.

Nếu ta biểu diễn tọa độ của điểm và dưới dạng các vector dòng lần lượt là và thì các phép biến đổi tịnh tiến, tỉ lệ, quay có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau :

            Phép tịnh tiến

hay với

Phép biến đổi tỉ lệ

hay với

Phép quay quanh gốc tọa độ

hay với

Với cách biểu diễn này, chúng ta sẽ gặp khó khăn khi muốn kết hợp các phép biến đổi lại với nhau vì biểu diễn của phép tịnh tiến khác với dạng của các phép biến đổi tỉ lệ và quay. Chính vì vậy mà cần phải có một cách nào đó để biểu diễn ba phép biến đổi này về một dạng duy nhất để có thể dễ dàng xử lí sau này.

    Hệ tọa độ thuần nhất (hormogeneous coordinates)

Tọa độ thuần nhất của một điểm trên mặt phẳng được biểu diễn bằng bộ ba số tỉ lệ không đồng thời bằng 0 và liên hệ với các tọa độ của điểm đó bởi công thức :

Nếu một điểm có tọa độ thuần nhất là thì nó cũng có tọa độ thuần nhất là trong đó h là số thực khác 0 bất kì. Tọa độ thuần nhất của một điểm trong không gian ba chiều hay có số chiều lớn hơn cũng được xác định một cách tương tự.

Về mặt toán học, việc đưa tọa độ thuần nhất vào là do sự cần thiết phải bổ sung cho mặt phẳng Euclid các điểm xa vô tận (điểm phi chính) có tọa độ thứ ba bằng 0, điều này dẫn đến khái niệm mặt phẳng xạ ảnh trong hình học xạ ảnh. Trong hệ tọa độ thuần nhất, các điểm xa vô tận không đóng một vai trò gì đặc biệt so với các điểm khác của mặt phẳng. Với các phép biến đổi hình học đang khảo sát, nếu một điểm được biểu diễn dưới dạng tọa độ thuần nhất, cả ba phép biến đổi trên đều được biểu diễn dưới dạng tích các ma trận. Điều này giúp cho việc khảo sát các tính chất và sự kết hợp của các phép biến đổi này được thuận tiện do mỗi phép biến đổi được đại diện bởi một ma trận duy nhất.

Bộ ba các tọa độ thường biểu diễn các điểm trong không gian ba chiều, nhưng ở đây ta sử dụng chúng để biểu diễn các điểm trong không gian hai chiều. Mối liên hệ ở đây là : nếu chúng ta xét tất cả các bộ ba tọa độ thuần nhất biểu diễn cho cùng một điểm, nghĩa là bộ ba số có dạng , với , chúng ta sẽ nhận được một đường thẳng trong không gian ba chiều. Để đơn giản hóa chúng ta có thể chọn , lúc này mỗi điểm sẽ được biểu diễn dưới dạng tọa độ thuần nhất là .

    Biểu diễn các phép biến đổi dưới dạng tọa độ thuần nhất

Phép tịnh tiến

hay với

Phép biến đổi tỉ lệ

hay với

Phép quay quanh gốc tọa độ

hay với

Quá trình áp dụng các phép biến đổi liên tiếp để tạo nên một phép biến đổi tổng thể được gọi là sự kết hợp các phép biến đổi (composing transformation).

Kết hợp các phép tịnh tiến

Nếu ta thực hiện phép tịnh tiến lên được P’ , rồi lại thực hiện tiếp một phép tịnh tiến khác lên P’, ta được điểm . Như vậy, Q là ảnh của phép biến đổi kết hợp hai phép tịnh tiến liên tiếp và có tọa độ :

Ta có :

hay :

Vậy kết hợp hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến. Từ đó ta có kết hợp của nhiều phép tịnh tiến cũng là một phép tịnh tiến.

Kết hợp các phép tỉ lệ

Tương tự như phép tịnh tiến, ta có tọa độ điểm là điểm có được sau khi kết hợp hai phép tỉ lệ và là :

Ta có :

hay :

Vậy kết hợp hai phép tỉ lệ là một phép tỉ lệ. Dễ dàng mở rộng cho kết quả : kết hợp của nhiều phép tỉ lệ cũng là một phép tỉ lệ.

Kết hợp các phép quay

Tương tự, ta có tọa độ điểm là điểm phát sinh sau khi kết hợp hai phép quay quanh gốc tọa độ và là :

Ta có :

hay :

Vậy kết hợp hai phép quay quanh gốc tọa độ là một phép quay quanh gốc tọa độ. Từ đó dễ dàng suy ra kết hợp của nhiều phép quay quanh gốc tọa độ cũng là một phép quay quanh gốc tọa độ.

Phép quay có tâm quay là điểm bất kì

Giả sử tâm quay có tọa độ , ta có thể xem phép quay quanh tâm I một góc được kết hợp từ các phép biến đổi cơ sở sau:

• Tịnh tiến theo vector tịnh tiến để dịch chuyển tâm quay về gốc tọa độ (đưa về trường hợp quay quanh gốc tọa độ).
• Quay quanh gốc tọa độ một góc .
• Tịnh tiến theo vector tịnh tiến để đưa tâm quay về lại vị trí ban đầu.

Hình 3.4 – Phép quay quanh tâm là điểm bất kì. Đối tượng trước khi biến đổi(a), Sau khi tịnh tiến về gốc tọa độ(b), Sau khi quay góc (c), Sau khi tịnh tiến về tâm quay ban đầu(d).

Ta có ma trận của phép biến đổi :

Phép biến đổi affine bảo toàn đường thẳng

Ảnh của đường thẳng qua phép biến đổi affine là đường thẳng.

Thật vậy, ta có phương trình tham số của đường thẳng qua hai điểm A, B là : . các điểm nhận được sau phép biến đổi M.

Nếu gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép biến đổi M, ta sẽ có . Lúc này . Đây chính là dạng của phương trình tham số đoạn thẳng qua A’, B’.

Từ kết quả trên, để biến đổi một đoạn thẳng đi qua hai điểm A và B, ta chỉ cần áp dụng phép biến đổi cho hai điểm A, B rồi vẽ lại đoạn thẳng qua hai điểm mới.

Tính song song của các đường thẳng được bảo toàn

Ảnh của hai đường thẳng song song là hai đường song song.

Chúng ta có thể viết lại phương trình tham số của đường thẳng dưới dạng tia xuất phát từ A ứng với t=0 và theo phươngnhư sau : . Lúc này ta biểu diễn hai đường thẳng song song dưới dạng tia :và có cùng phương nhưng xuất phát từ hai điểm khác nhau. Lúc này áp dụng phép biến đổi lên hai đường thẳng song song này, dễ dàng nhận ra ảnh của chúng sẽ có phươngnên chúng song song.

Một hệ quả quan trọng của tính chất này đó là ảnh của các hình bình hành sau phép biến đổi là các hình bình hành.

Tính tỉ lệ về khoảng cách được bảo toàn

Giả sử C là điểm chia đoạn AB theo tỉ số t. Nếu A’, B’, C’ lần lượt là ảnh A, B, C qua phép biến đổi thì C’ cũng sẽ chia A’B’ theo tỉ số t.

Trong trường hợp đặc biệt, nếu C là trung điểm của AB thì C’ cũng là trung điểm của A’B’, từ đó ta có thể suy ra một số tính chất sau :

• Trong hình vuông, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên các đường chéo của bất cứ hình bình hành nào cũng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
• Trong tam giác đều, giao điểm của ba đường trung tuyến chia mỗi đường theo tỉ số 1:2. Mặt khác, một tam giác bất kì là ảnh của tam giác đều qua phép biến đổi affine, nên giao điểm của các đường trung tuyến của nó cũng sẽ chia chúng theo tỉ lệ 1:2.

Để thuận tiện cho việc mô tả đối tượng, thông thường đối tượng sẽ được mô tả trong các hệ tọa độ cục bộ gắn với chúng. Tuy nhiên để có thể hiển thị toàn bộ một ảnh bao gồm nhiều đối tượng thành phần, các mô tả này phải được chuyển về một hệ tọa độ chung duy nhất. Việc chuyển đổi này thường được chia làm hai loại : chuyển từ các hệ tọa độ không phải là hệ tọa độ Descartes như hệ tọa độ cực, hệ tọa độ cầu, hệ tọa độ elliptic, … sang hệ tọa độ Descartes, và chuyển đổi giữa hai hệ tọa độ Descartes. Trong phần này chúng ta sẽ khảo sát phép biến đổi giữa hai hệ tọa độ Descartes với nhau.

Hình 3.6 – Phép biến đổi giữa hai hệ tọa độ

Giả sử ta có hệ tọa độ (I) có gốc tọa độ O và các vector đơn vị lần lượt là . Hệ tọa độ (II) là ảnh của hệ tọa độ (I) qua phép biến đổi T(M), có gốc tọa độ là O’ và các vector đơn vị lần lượt là . Lúc này một điểm bất kì trong hệ tọa độ (I) sẽ được biến đổi thành điểm trong hệ tọa độ (II). Vấn đề đặt ra ở đây là mối liên hệ giữa với như thế nào.

Người ta chứng minh được rằng .

Hình 3.7 –Tọa độ của một điểm qua phép biến đổi hệ tọa độ

Các phép biến đổi hình học cho phép dễ dàng thao tác lên các đối tượng đã được tạo ra. Chúng làm thay đổi mô tả về tọa độ của các đối tượng, từ đó đối tượng sẽ được thay đổi về hướng, kích thước và hình dạng. Các phép biến đổi hình học cơ sở bao gồm tịnh tiến, quay và biến đổi tỉ lệ. Ngoài ra một số phép biến đổi khác cũng thường được áp dụng đó là phép đối xứng và biến dạng.

Có hai quan điểm về phép biến đổi hình học đó là : biến đổi đối tượng và biến đổi hệ tọa độ. Biến đổi đối tượng thay đổi tọa độ của các điểm mô tả nó theo một quy tắc nào đó, còn biến đổi hệ tọa độ sẽ tạo ra một hệ tọa độ mới và tất cả các điểm mô tả đối tượng sẽ được chuyển về hệ tọa độ mới.

Các phép biến đổi hình học đều được biểu diễn dưới dạng ma trận thuần nhất 3x3 để tiện cho việc thực hiện các thao tác kết hợp giữa chúng. Trong hệ tọa độ thuần nhất, tọa độ của một điểm được mô tả bởi một vector dòng bao gồm ba giá trị, hai giá trị đầu tương ứng với tọa độ Descartes của điểm đó, và giá trị thứ ba là 1. Với cách biểu diễn này, ma trận của phép biến đổi có được từ sự kết hợp của các phép biến đổi cơ sở sẽ bằng tích của các ma trận của các phép biến đổi thành phần.

Các phép biến đổi không làm thay đổi kết cấu về tính cân xứng của đối tượng như tịnh tiến, quay được gọi là các phép biến đổi bảo toàn kết cấu đối tượng, thuật ngữ tiếng Anh gọi là rigid-body transformation.

Việc chuyển đổi giữa hai hệ tọa độ Descartes với nhau thường gặp trong công đoạn chuyển các mô tả tọa độ của các đối tượng thành phần trong các hệ tọa độ cục bộ về các vị trí tương ứng trong một hệ tọa độ chung. Giữa hai hệ tọa độ Descartes với nhau, người ta thường sử dụng các phép biến đổi bảo toàn kết cấu như là tịnh tiến, quay.

1. Cho biết ma trận các phép biến đổi dùng để biến đổi một hình tròn thành hình ellipse và ngược lại.

2. Cho biết ma trận các phép biến đổi dùng để biến đổi một hình vuông thành hình chữ nhật, hình bình hành và ngược lại.

3. Xây dựng và cài đặt cấu trúc dữ liệu và các hàm dùng để thực hiện một phép biến đổi affine bất kì.

4. Cho biết ma trận của phép tỉ lệ với tâm tỉ lệ là điểm bất kì.

5. Cho biết ma trận của phép lấy đối xứng qua đường thẳng y=mx+b bất kì.

6. Cho biết ma trận của phép lấy đối xứng qua tâm là điểm bất kì.

7. Cho biết ma trận của phép biến dạng theo phương của đường thẳng y=mx+b.

8. Chứng minh rằng ma trận của phép lấy đối xứng qua đường thẳng tương đương với kết hợp của phép lấy đối xứng qua trục hoành và phép quay quanh gốc tọa độ một góc 90⁰.

9. Chứng minh rằng ma trận của phép lấy đối xứng qua đường thẳng tương đương với kết hợp của phép lấy đối xứng qua trục tung và phép quay quanh gốc tọa độ một góc 90⁰.

10. Trong phép biến đổi tỉ lệ, được gọi là các hệ số tỉ lệ theo phương của trục hoành và phương của trục tung. Hãy cho biết công thức của phép biến đổi tỉ lệ theo phương của các trục nghiêng so với trục hoành (các trục này trực giao với nhau) một góc với các hệ số tỉ lệ theo các phương trên là .

11. Chứng minh rằng cặp hai phép tỉ lệ là giao hoán, nghĩa là . Tương tự cho cặp hai phép quay.

12. Chứng minh rằng phép đồng dạng và phép quay tạo thành một cặp thao tác có tính giao hoán, nhưng phép biến đổi tỉ lệ thường và phép quay thì không vậy.

13. Trình bày ma trận của phép biến dạng dưới dạng tích ma trận của các phép quay và các phép tỉ lệ.

14. Trình bày ma trận của phép quay dưới dạng tích ma trận của các phép biến dạng và tỉ lệ.

15. Chứng minh rằng phép quay quanh gốc tọa độ có thể được phân tích thành ba phép biến dạng. Đây là cách để quay một ảnh nhanh vì phép biến dạng thường được thực hiện bằng cách di chuyển toàn bộ các khối điểm ảnh (block pixels).

16. Chứng minh một phép biến đổi affine bất kì có thể được phân tích thành tích của các phép tịnh tiến, tỉ lệ và quay.

17. Chứng minh công thức tính tọa độ của một điểm khi thực hiện phép biến đổi giữa các hệ tọa độ

18. Hệ tọa độ nhận được bằng cách quay quanh gốc tọa độ một góc rồi tịnh tiến theo vector tịnh tiến hệ tọa độ . Hãy cho biết công thức tọa độ của điểm P trong hệ tọa độ nếu là tọa độ của P trong hệ tọa độ .

19. Viết chương trình minh họa các bước kết hợp các phép biến đổi cơ sở để tạo thành phép quay một điểm quanh tâm bất kì. Thực hiện tương tự cho phép tỉ lệ có tâm tỉ lệ là điểm bất kì.

20. Viết chương trình cho phép người dùng sử dụng các phép biến đổi đã học thao tác lên một đối tượng cho trước.