Các định lý cơ bản của phép biến đổi Laplace và áp dụng vào giải mạch

Biến đổi của một tổ hợp tuyến tính

Cho 2 hàm f₁(t) và f₂(t), với các hằng số a, b. F₁(s) và F₂(s) lần lượt là biến đổi Laplace của f₁(t) và f₂(t). Ta có:

Thí dụ 10.3

Tìm biến đổi Laplace của cosωt và sinωt

Từ công thức Euler

Biến đổi của e-atf(t)

Khi hàm f(t) nhân với e^-at, biến đổi Laplace tương ứng e^-at f(t) có được bằng cách thay F(s) bởi F(s+a)

Thí dụ 10.4

Tìm biến đổi Laplace của e^-atcosωt và e^-atsinωt

Chỉ cần thay s bởi s+a trong các các kết quả biến đổi của hàm sinωt và cosωt ở trên.

Thí dụ 10.5

Biến đổi của f(t-τ)u(t-τ)

f(t-τ) là hàm f(t) trễ τ đơn vị thời gian. (Lưu ý là f(t)=0 khi t<0 nên f(t-τ)=0 khi t<τ)

Hãy so sánh (10.5) và (10.6)

* Ở (10.5), F(s+a) biểu thị sự chuyển dịch của F(s) từ s đến s+a trong lãnh vực tần số tương ứng với nhân hàm f(t) với e^-at trong lãnh vực thời gian.

* Ở (10.6), f(t-τ) biểu thị sự chuyển dịch của hàm f(t) từ t đến t-τ trong lãnh vực thời gian tương ứng với nhân F(s) với e^-sτ trong lãnh vực tần số.

Thí dụ 10.6

Tìm biến đổi của f(t)=e^-3tu(t-2)

Viết lại f(t):

f(t)= e^-3(t-2)-6u(t-2) = e^-6e^-3(t-2) u(t-2)

Định lý kết hợp (Convolution theorem)

Đây là định lý dùng để tìm biến đổi ngược y(t) của tích 2 hàm F(s)và G(s)

Thí dụ 10.7

Tìm kết hợp 2 hàm e^-t và e^-2t

Dùng (10.8)

Thí dụ 10.8

Biến đổi của đạo hàm

Đạo hàm bậc 1

Đạo hàm bậc 2

Đạo hàm bậc n

Từ kết quả trên, ta suy ra trường hợp đạo hàm bậc n

Biến đổi của tích phân

Khi áp dụng vào mạch điện, thời gian thường xác định từ - ∞ đến t, như vậy

Biến đổi của tf(t)

Lấy đạo hàm hệ thức (10.1), đồng thời hoán chuyển các toán tử lấy đạo hàm và tích phân, ta được:

Thí dụ 10.9

Tìm biến đổi của hàm tu(t) và tcosωt

Dựa vào các định lý cơ bản ta có được một số cặp biến đổi. Kết hợp các định lý này với định nghĩa của phép biến đổi ta có thêm một số cặp biến đổi thông dụng.

Bảng 1 dưới đây cho biến đổi của một số hàm

Giải phương trình vi tích phân

Dưới đây là một số thí dụ cho thấy cách áp dụng biến đổi Laplace vào giải mạch.

Thí dụ 10.10

Mạch RC nối tiếp (H 10.3), khóa K đóng ở t=0. Xác định i(t), cho tụ tích điện ban đầu với điện tích q₀

Bảng 1

* Khi sử dụng bảng 1, phải nhân f(t) với u(t), nói cách khác, f(t) thỏa điều kiện là f(t)=0 khi t<0

Thí dụ 10.11

Mạch RL nối tiếp (H 10.5), khóa K đóng ở t=0. Xác định i(t), cho mạch không tích trữ năng lượng ban đầu

A, B là 2 hằng số cần xác định

Qui đồng mẫu số vế 2, cân bằng 2 vế, ta được:

Mạch điện biến đổi

Trong chương 6, với khái niệm vectơ pha, ta đã biến đổi mạch điện từ lãnh vực thời gian sang lãnh vực tần số và viết các phương trình đại số cho mạch.

Tương tự , với phép biến đổi Laplace, ta cũng biến đổi mạch điện từ lãnh vực thời gian sang lãnh vực tần số phức (s), kể cả các loại nguồn kích thích khác nhau và ta có lời giải đầy đủ thỏa các điều kiện đầu.

Điện trở

Cuộn dây

Biểu thức (10.16a) cho mạch biến đổi (H 10.7b)

Biểu thức (10.16b) cho mạch biến đổi (H 10.7c)

Tụ điện

Biểu thức (10.17a) cho mạch biến đổi của tụ (H 10.8b)

Biểu thức (10.17b) cho mạch biến đổi của tụ (H 10.8c)

Thí dụ 10.12

Xác định i(t) khi t>0 của mạch (H 10.9a). Cho i(0)=4A và v(0)=8V

Thí dụ 10.13

Xác định v(t) của mạch (H 10.10a). Cho i(0)=1A và v(0)=4V

Viết phương trình nút cho mạch biến đổi (H 10.10b)