bổ túc toán

Ký hiệu tập hợp

Nếu số phần tử trong một tập hợp không quá lớn, hay nói cách khác – tập hợp là hữu hạn, tập hợp có thể được đặc tả bằng cách liệt kê các phần tử của nó.

Thí dụ 1.1 : D xác định tập hợp các ngày trong tuần :

D = { Mon, Tues, Wed, Thurs, Fri, Sat, Sun }

Các phần tử trong tập hợp viết cách nhau bởi dấu “ và đặt trong cặp dấu { và }. Không có sự bắt buộc về thứ tự liệt kê các phần tử trong tập hợp. Chẳng hạn, tập hợp D cũng tương đương với tập hợp sau :

D = { Mon, Wed, Fri, Thurs, Sun, Tues, Sat }

Nếu phần tử x là thành phần của tập hợp A, ta viết x ∈ A (đọc là x thuộc A), và nếu x không là phần tử của A, ta viết x ∉ A (đọc là x không thuộc A). Chẳng hạn : Mon ∈ D nhưng Kippers ∉ D.

Nếu một tập hợp chứa một số khá lớn các phần tử hay thậm chí là một số vô hạn, người ta có thể không liệt kê tất cả các phần tử mà đặc tả tập hợp theo một số tính chất đặc trưng của nó.

Thí dụ 1.2 : D = { x | x là một ngày trong tuần }

P = { y | y là số nguyên tố }

X = { x | x > 2 }

Mọi tập hợp đều chứa các phần tử thuộc vào một không gian xác định nào đó, ký hiệu là U. Không gian tương ứng có thể được định nghĩa là một tập số nguyên, số thực, …

Một trường hợp đặc biệt của tập hợp là tập hợp rỗng (empty set). Tập hợp này không có chứa bất kỳ phần tử nào, ký hiệu bởi ∅ hoặc { }.

Ta nói tập hợp A là tập hợp con (subset) của tập hợp B khi mọi phần tử của A là thành phần của B ( ký hiệu A ⊆ B). Ngược lại, A không là tập con của B (A B ).

Thí dụ 1.3 : { 1, 2, 4 }⊆{ 1, 2, 3, 4, 5 } nhưng { 2, 4, 6 }{ 1, 2, 3, 4, 5 }

Có thể suy ra rằng tập hợp A ⊆ U và ∅ ⊆ A, ∀A

Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau (A = B), khi A ⊆ B và B ⊆ A

Thí dụ 1.4 : { 1, 2, 3, 4 } = { 2, 1, 4, 3 } nhưng { 1, 2, 3, 4 }≠ { 2, 1, 3, 5 }

Tập hợp tất cả các tập hợp con của tập A được gọi là tập lũy thừa (power set) của A và xác định bởi 2^A.

Thí dụ 1.5 : Giả sử A = { 1, 2, 3 }

Thì 2^A = { ∅, {1 }, {2 }, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 1}, {1, 2, 3} }

Các phép toán trên tập hợp

Các toán tử cơ bản trên tập hợp bao gồm các toán tử một ngôi (unary) và hai ngôi (binary) như sau :

1) Phép phần bù (complement) : A' = {x | x ∈ A }

2) Phép hợp (union) : A B = {x | x ∈A hoặc x ∈B}

3) Phép giao (intersection) : A B = {x | x ∈A và x ∈B}

4) Phép trừ (difference) : A B = {x | x ∈A nhưng x ∉B}

5) Tích Đecac : A × B = {(a,b) | a ∈A và b∈B}

Thí dụ 1.6 : Cho A = {1, 2} và B = {2, 3}

Ta có : A B = {1, 2, 3}

A B = {2}

A B = {1}

A × B = {(1, 2 ), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}

2^A = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}

Lưu ý : Nếu A và B lần lượt có số phần tử là n và m thì tập hợp A × B có n × m phần tử và tập 2^A có 2ⁿ phần tử.