Biến đổi qua lại giữa các hệ thống số

Đổi một số từ hệ b sang hệ 10

Để đổi một số từ hệ b sang hệ 10 ta triển khai trực tiếp đa thức của b

Một số N trong hệ b:

N = (a_na_n-1a_n-2. . .a_i . . .a₀ , a_-1a_-2 . . .a_-m)_b với a_i ∈ S_b

Có giá trị tương đương trong hệ 10 là:

N = a_n bⁿ + a_n-1b^n-1 +. . .+ a_ibⁱ +. . . + a₀b⁰+ a_-1 b^-1 + a_-2 b^-2 +. . .+ a_-mb^-m.

Thí dụ:

* Đổi số 10110,11₂ sang hệ 10

10110,11₂ = 1x2⁴ + 0 + 1x2² + 1x2 + 0 + 1x2^-1 + 1x2^‑2= 22,75₁₀

* Đổi số 4BE,ADH sang hệ 10

4BE,ADH=4x16²+11x16¹+14x16⁰+10x16^-1+13x16^-2 = 1214,675₁₀

Đổi một số từ hệ 10 sang hệ b

Đây là bài toán tìm một dãy ký hiệu cho số N viết trong hệ b.

Tổng quát, một số N cho ở hệ 10, viết sang hệ b có dạng:

N = (a_na_n-1 . . .a₀ , a_-1a_-2 . . .a_-m)_b = (a_na_n-1 . . .a₀)_b + (0,a_-1a_-2 . . .a_-m)_b

Trong đó

(a_na_n-1 . . .a₀)_b = PE(N) là phần nguyên của N

và (0,a_-1a_-2 . . .a_-m)_b = PF(N) là phần lẻ của N

Phần nguyên và phần lẻ được biến đổi theo hai cách khác nhau:

Phần nguyên:

Giá trị của phần nguyên xác định nhờ triển khai:

PE(N) = a_nbⁿ +a_n-1b^n-1 + . . .+ a₁b ¹+ a₀b⁰

Hay có thể viết lại

PE(N) = (a_nb^n-1 +a_n-1b^n-2 + . . .+ a₁)b + a₀

Với cách viết này ta thấy nếu chia PE(N) cho b, ta được thương số là PE’(N) = (anbn-1 +an-1bn-2 + . . .+ a1) và số dư là a0.

Vậy số dư của lần chia thứ nhất này chính là số mã có trọng số nhỏ nhất (a0) của phần nguyên.

Lặp lại bài toán chia PE’(N) cho b:

PE’(N) = a_nb^n-1 +a_n-1b^n-2 + . . .+ a₁= (a_nb^n-2 +a_n-1b^n-3 + . . .+ a₂)b+ a₁

Ta được số dư thứ hai, chính là số mã có trọng số lớn hơn kế tiếp (a1) và thương số là PE”(N)= a_nb^n-2 +a_n-1b^n-3 + . . .+ a₂.

Tiếp tục bài toán chia thương số có được với b, cho đến khi được số dư của phép chia cuối cùng, đó chính là số mã có trọng số lớn nhất (an)

Phần lẻ:

Giá trị của phần lẻ xác định bởi:

PF(N) = a_-1 b^-1 + a_-2 b^-2 +. . .+ a_-mb^-m

Hay viết lại

PF(N) = b^-1 (a_-1 + a_-2 b^-1 +. . .+ a_-mb^-m+1 )

Nhân PF(N) với b, ta được : bPF(N) = a_-1 + (a_-2 b^-1 +. . .+ a_-mb^-m+1 ) = a_-1+ PF’(N).

Vậy lần nhân thứ nhất này ta được phần nguyên của phép nhân, chính là số mã có trọng số lớn nhất của phần lẻ (a-1) (số a_-1 này có thể vẫn là số 0).

PF’(N) là phần lẻ xuất hiện trong phép nhân.

Tiếp tục nhân PF’(N) với b, ta tìm được a-2 và phần lẻ PF”(N).

Lặp lại bài toán nhân phần lẻ với b cho đến khi kết quả có phần lẻ bằng không, ta sẽ tìm được dãy số (a_-1a_-2 . . .a_-m).

Chú ý: Phần lẻ của số N khi đổi sang hệ b có thể gồm vô số số hạng (do kết quả của phép nhân luôn khác 0), điều này có nghĩa là ta không tìm được một số trong hệ b có giá trị đúng bằng phần lẻ của số thập phân, vậy tùy theo yêu cầu về độ chính xác khi chuyển đổi mà người ta lấy một số số hạng nhất định.

Thí dụ:

* Đổi 25,3₁₀ sang hệ nhị phân

Phần nguyên: 25 : 2 = 12 dư 1 ⇒ a₀ = 1

12 : 2 = 6 dư 0 ⇒ a₁ = 0

6 : 2 = 3 dư 0 ⇒ a₂ = 0

3 : 2 = 1 dư 1 ⇒ a₃ = 1

thương số cuối cùng là 1 cũng chính là bit a₄:

⇒ a₄ = 1

Vậy PE(N) = 11001

Phần lẻ: 0,3 * 2 = 0,6 ⇒ a_-1 = 0

0,6 * 2 = 1,2 ⇒ a _-2 = 1

0,2 * 2 = 0,4 ⇒ a_-3 = 0

0,4 * 2 = 0,8 ⇒ a_-4 = 0

0,8 * 2 = 1,6 ⇒ a_-5 = 1 . . .

Nhận thấy kết quả của các bài toán nhân luôn khác không, do phần lẻ của lần nhân cuối cùng là 0,6, đã lặp lại kết quả của lần nhân thứ nhất, như vậy bài toán không thể kết thúc với kết quả đúng bằng 0,3 của hệ 10.

Giả sử bài toán yêu cầu lấy 5 số lẻ thì ta có thể dừng ở đây và

PF(N) = 0,01001.

Kết quả cuối cùng là:

25,3₁₀ = 11001,01001₂

* Đổi 1376,85₁₀ sang hệ thập lục phân

Phần nguyên: 1376 : 16 = 86 số dư = 0 ⇒ a₀ = 0

86 : 16 = 5 số dư = 6 ⇒ a₁ = 6 & ⇒ a₂ = 5

1376₁₀ = 560H

Phần lẻ: 0,85 * 16 = 13,6 ⇒ a_-1 = 13₁₀=DH

0,6 * 16 = 9,6 ⇒ a _-2 = 9

0,6 * 16 = 9,6 ⇒ a_-3 = 9

Nếu chỉ cần lấy 3 số lẻ: 0,85₁₀= 0,D99H

Và kết quả cuối cùng:

1376,85₁₀ = 560,D99H

Đổi một số từ hệ b sang hệ bk và ngược lại

Từ cách triển khai đa thức của số N trong hệ b, ta có thể nhóm thành từng k số hạng từ dấu phẩy về hai phía và đặt thành thừa số chung

N = a_nbⁿ +. . . +a₅b⁵ +a₄b⁴ +a₃b³ +a₂b² +a₁b¹ +a₀b⁰ +a_-1 b^-1 +a_-2 b^-2 +a_-3 b^-3. . .+a_-mb^-m

Để dễ hiểu, chúng ta lấy thí dụ k = 3, N được viết lại bằng cách nhóm từng 3 số hạng, kể từ dấu phẩy về 2 phía

N = ...+ (a₅b² +a₄b¹ + a₃b⁰)b³ + (a₂b² + a₁b¹ + a₀b⁰ )b⁰+ (a_-1 b² + a_-2 b¹ + a_-3b⁰)b^-3 +...

Phần chứa trong mỗi dấu ngoặc luôn luôn nhỏ hơn b³ , vậy số này tạo nên một số trong hệ b³ và lúc đó được biểu diễn bởi ký hiệu tương ứng trong hệ này.

Thật vậy, số N có dạng:

N = ...+A₂B²+A₁B¹+A₀B⁰ + A_-1B^-1 +...

Trong đó:

B=b³ (B⁰=b⁰; B¹=b³; B²=b⁶, B^-1=b^-3 ....)

A₂= a₈b² +a₇b¹ + a₆b⁰ = b³(a₈b^-1 +a₇b^-2 + a₆b^-3) < B=b³

A₁= a₅b² +a₄b¹ + a₃b⁰ = b³(a₅b^-1 +a₄b^-2 + a₃b^-3) < B=b³

A₀= a₂b² + a₁b¹ + a₀b⁰ = b³(a₂b^-1 +a₁b^-2 + a₀b^-3) < B=b³

Các số A_i luôn luôn nhỏ hơn B=b³ như vậy nó chính là một phần tử của tập hợp số tạo nên hệ B=b³

Ta có kết quả biến đổi tương tự cho các hệ số k khác.

Tóm lại, để đổi một số từ hệ b sang hệ b^k, từ dấu phẩy đi về hai phía, ta nhóm từng k số hạng, giá trị của mỗi k số hạng này (tính theo hệ b) chính là số trong hệ b^k .

Thí dụ:

* Đổi số N = 10111110101 , 01101₂ sang hệ 8 = 2³

Từ dấu phẩy, nhóm từng 3 số hạng về hai phía (nếu cần, thêm số 0 vào ở nhóm đầu và cuối để đủ 3 số hạng mà không làm thay đổi giá trị của số N):

N = 010 111 110 101 , 011 010₂

Ghi giá trị tương ứng của các số 3 bit, ta được số N trong hệ 8

N = 2 7 6 5 , 3 2 ₈

* Đổi số N trên sang hệ 16 = 2⁴

Cũng như trên nhưng nhóm từng 4 số hạng

N = 0101 1111 0101 , 0110 1000₂

N = 5 F 5 , 6 8 ₁₆

Từ kết quả của phép đổi số từ hệ b sang hệ b^k, ta có thể suy ra cách biến đổi ngược một cách dễ dàng: Thay mỗi số hạng của số trong hệ b^k bằng một số gồm k số hạng trong hệ b.

Thí dụ để đổi số N = 5 F5, 68₁₆ (hệ 2⁴) sang hệ nhị phân (2) ta dùng 4 bit để viết cho mỗi số hạng của số này:

N = 0101 1111 0101 , 0110 1000₂

Đổi một số từ hệ bk sang hệ bp

Qua trung gian của hệ b, ta có thể đổi từ hệ b^k sang hệ b^p. Muốn đổi số N từ hệ b^k sang hệ b^p, trước nhất đổi số N sang hệ b rồi từ hệ b tiếp tục đổi sang hệ b^p.

Thí dụ:

- Đổi số 1234,67₈ sang hệ 16

1234,67₈ = 001 010 011 100,110 111₂ = 0010 1001 1100,1101 1100₂ = 29C,DCH

- Đổi số ABCD,EFH sang hệ 8

ABCD,EFH = 1010 1011 1100 1101,1110 1111₂ = 1 010 101 111 001 101,111 011 110₂ = 125715,736₈

Dưới đây là bảng kê các số đầu tiên trong các hệ khác nhau:

Bảng 1.1