Bài toán nội suy

Thông thường trong một số lĩnh vực như kinh tế chẳng hạn, các đại lượng khảo sát thường không được cho dưới dạng hàm liên tục, mà là bảng các giá trị rời rạc. Các phương pháp giải tích toán học thường tính toán với các hàm cho bởi các công thức, do đó không thể áp dụng trực tiếp để nghiên cứu các hàm cho dưới dạng rời rạc như thế này. Cũng có khi ta biết rằng đại lượng y là một hàm của đại lượng x, tức là y = f(x), nhưng ta không biết biểu thức hàm f(x) mà chỉ biết một số giá trị yi tương ứng với các giá trị của x tại các điểm xi

Thông thường thì x0 < x1 < x2 < . . . < xn và các điểm này có thể phân bố cách đều hoặc không. Mặc dầu ta chỉ biết các giá trị của y tại các điểm mốc xi, nhưng trong nhiều trường hợp ta cần tính toán với các giá trị y tại các vị trí khác của x. Một câu hỏi đặt ra là: cho một điểm x không thuộc các điểm xi cho ở trên, làm thế nào chúng ta có thể tính được giá trị y tương ứng với nó, sao cho chúng ta có thể tận dụng tối đa các thông tin đã có?

là bài toán tìm giá trị gần đúng của y tại các điểm nằm giữa các giá trị x không có trong bảng trên. Nếu cần tìm các giá trị gần đúng của y tại các điểm x nằm ngoài khoảng

[x0,xn] thì bài toán được gọi là bài toán ngoại suy. Một bộ n+1 cặp các giá trị đã biết của x và y:

(x0,y0), (x1,y1), . . .,(xn,yn) được gọi là một mẫu quan sát, còn x0, x1, ..., xn được gọi là các điểm quan sát và y0, y1, ..., yn là các kết quả quan sát.

Vì bài toán của chúng ta không chỉ giải quyết với một giá trị x cụ thể, mà là cả một miềm giá trị nào đó của x. Do đó câu hỏi trên cũng tương đương với vấn đề sau: hãy tìm một hàm g(x) sao cho miền giá trị của nó chứa các điểm (x0, x1, ..., xn) và hàm này xấp xỉ tốt nhất tập số liệu đã có là các cặp (x0,y0), (x1,y1), ..., (xn,yn) theo một nghĩa nào đó. Chúng ta thấy ngay là tập số liệu là hữu hạn, còn tập các giá trị cần ước lượng là vô hạn, nên sẽ có vô số hàm g(x) nếu chúng ta không đưa ra một số ràng buộc nào đó về g(x). Điều đầu tiên chúng ta quan tâm là nên chọn dạng hàm g(x) như thế nào.

Một cách tự nhiên, ta có thể đặt điều kiện về hàm g(x) như sau:

• g(xi) i =0,1,2,...,n gần các điểm yi nhất theo một nghĩa nào đó.

• g(x) là duy nhất theo một số điều kiện nào đó.

• Hàm g(x) liên tục, không có điểm gấp khúc và ít thay đổi trong từng đoạn [xi,xi+1].

Từ các định lý trên đây ta thấy rằng chọn đa thức là thích hợp cho dạng hàm g(x). Đa thức là hàm quen thuộc và ta đã biết nhiều tính chất của nó.

Giả sử chúng ta có hàm số y=f(x), và biết giá trị của nó tại các điểm x₀ =a < x₁ <x₂ < .. <x_n=b; y_i = f(x_i) với ∀i=0,..,n. Hãy tìm biểu thức g(x) đủ đơn giản xác định trên [a,b] sao cho: y= f(x) ≅ g(x) và g(x_i) =y_i

Hàm f(x) thường là hàm thực nghiệm hoặc hàm khó tính giá trị nên chỉ xác định giá trị tại một số điểm nhất định. Các điểm x_i (i=0,..,n) gọi là các mốc nội suy.

Về mặt hình học bài toán nội suy được diễn đạt như sau: Tìm hàm g(x) có đồ thị đi qua các điểm (x_i, f(x_i))

Ta tìm cách xây dựng một đa thức:

P_n(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + … + a_n-1x + a_n

Thỏa mãn

P_n(x) = f(x_i) = y_i, i = 0, 1, 2,…, n (1.1)

P_n(x) gọi là đa thức nội suy của hàm f(x), các điểm x_i, i = (0, 1, …, n) gọi là các nút nội suy. Về hình học, có nghĩa là tìm đường cong:

y = P_n(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + … + a_n-1x + a_n

đi qua các điểm M_i(x_i,y_i) đã biết i = (0, 1,…, n) của đường cong y = f(x)

Sau đó, ta dùng đa thức P_n(x) thay cho hàm số f(x) để tính gần đúng giá trị của hàm số f(x) tại các điểm x ≠ x_i i = 0, 1,…, n.

Nếu điểm x € (x₀, x_n) thì phép tính trên gọi là phép tính nội suy.

Nếu điểm x ở ngoài (x₀, x_n) thì phép tính trên gọi là phép ngoại suy.

Sở dĩ ta trọn đa thức P_n(x) vì tính toán, đa thức là hàm số dễ tính

nhất. Nhằm giảm bớt khối lượng tính, người ta cũng dùng đa thức nội suy P_n(x) thay cho hàm số f(x) để tings gần đúng giá trị hàm số tại các điêm x ≠ x_i i = 0, 1,…, n trong trường hợp biểu thức giải tích cụ thể của hàm số f(x) đã biết nhưng tương đói phức tạp. Khi đó, nếu ta tính giá trị của hàm số f(x) tại các điểm x ≠ x_i i = 0, 1,…, n

trực tiếp bằng biểu thức giải tich của hàm số f(x) thì sẽ tốn nhiều công sức, nhất là khi phải tính nhiều giá trị.

Về sự duy nhất của đa thức nội suy, ta có định lí sau

Định lí 1.1: Đa thức nội suy P n (x) của hàm số f(x), nếu có,thì chỉ có một mà thôi.

Chứng minh: giả sử từ những điều kiện (1.1), ta xây dựng đượchai đa thức nội suuy khác nhau P_n(x) và Q_n(x) với:

P_n(x) = y_{i ;} Q_n(x) = y_i i = 0, 1,…, n.

Khi đó P_n(x) - Q_n(x) là một đa thức bậc không lớn hơn, nhưng lại triệt tiêu tại n +1 điểmx_i khác nhau vì:

P_n(x) - Q_n(x) = y_i - y_i = 0 i = 0, 1,…, n

Vậy P_n(x) - Q_n(x) bằng không với mọi x .Đó là điều phải chứng minh.