Bài tập về ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

Bài tập về ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

đưa ra một số phương pháp giải bài toán về tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất. Các ví dụ minh họa có đáp án chi tiết kèm theo giúp các bạn học sinh dễ dàng ôn tập và củng cố kiến thức. Ngoài ra, các bạn có thể luyện tập với các bài tập tự giải. Mời các bạn tham khảo.

Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

Bài tập về số tự nhiên lớp 6

Bài tập toán lớp 6 - Số chính phương

Bài tập toán lớp 6 - Số nguyên

Ước số là gì?

Ước số (divisor) là một số tự nhiên chia hết của một số tự nhiên khác.

Nói theo cách khác uớc số là một số tự nhiên khi một số tự nhiên khác chia với nó sẽ được chia hết.

Mô tả rõ hơn thì khi một số tự nhiên A được gọi là ước số của số tự nhiên B nếu B chia hết cho A.

Ví dụ: 6 chia hết được cho [1,2,3,6], thì [1,2,3,6] được gọi là ước số của 6.

Ước chung lớn nhất là gì?

Ước số chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp ước chung.

Cách tìm ƯCLN:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là UCLN cần tìm.

Chú ý:

Hai số nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi ước chung lớn nhất của hai số bằng 1.

Cách tìm Ước chung thông qua tìm UCLN.

Bội số là gì?

Bội số của A là các số chia hết cho A

Bối số nhỏ nhất của A là số nhỏ nhất chia hết cho A

Ví dụ bội số của 3 là 3, 6, 9, 12, 15 ...

Bội số nhỏ nhất của 3 là chính nó

Bội số chung nhỏ nhất là gì?

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp bội chung.

Cách tìm bội số chung nhỏ nhất:

• Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
• Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.
• Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN cần tìm.

Chú ý:

• Nếu hai số a, b là hai số nguyên tố cùng nhau thì BCNN là tích của a.b
• Nếu a là bội của b thì a cũng chính là BCNN của hai số a, b.

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ƯCLN VÀ BCNN

Trong chương trình số học lớp 6, sau khi học các khái niệm ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN), các bạn sẽ gặp dạng toán tìm hai số nguyên dương khi biết một số yếu tố trong đó có các dữ kiện về ƯCLN và BCNN.

Phương pháp chung để giải:

1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với các yếu tố đã cho để tìm hai số.

2/ Trong một số trường hợp, có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN, BCNN và tích của hai số nguyên dương a, b, đó là: ab = (a, b).[a, b], trong đó (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b. Việc chứng minh hệ thức này không khó 

Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md; b = nd với m, n thuộc Z+; (m, n) = 1 (*)

Từ (*) => ab = mnd²; [a, b] = mnd

=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd² = ab

=> ab = (a, b).[a, b] . (**)

Chúng ta hãy xét một số ví dụ minh họa.

Bài toán 1: Tìm hai số nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16.

Lời giải: Do vai trò của a, b là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b.

Từ (*), do (a, b) = 16 nên a = 16m; b = 16n (m ≤ n do a ≤ b) với m, n thuộc Z⁺; (m, n) = 1.

Theo định nghĩa BCNN:

[a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15

=> m = 1, n = 15 hoặc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoặc a = 48, b = 80.

Chú ý: Ta có thể áp dụng công thức (**) để giải bài toán này: ab = (a, b).[a, b] => mn.16² = 240.16 suyy ra mn = 15.

Bài toán 2: Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6.

Lời giải: Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b.

Do (a, b) = 6 => a = 6m; b = 6n với m, n thuộc Z⁺; (m, n) = 1; m ≤ n.

Vì vậy: ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = 6 tương đương m = 1, n = 6 hoặc m = 2, n = 3 tương đương với a = 6, b = 36 hoặc là a = 12, b = 18.

Bài toán 3: Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60.

Lời giải:

Từ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = 3.

Tìm được (a, b) = 3, bài toán được đưa về dạng bài toán 2.

Kết quả: a = 3, b = 60 hoặc a = 12, b = 15.

Chú ý: Ta có thể tính (a, b) một cách trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, BCNN: Theo (*) ta có ab = mnd² = 180; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3.