Bài 9 trang 123 SGK Hình học 12 Nâng cao, Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng có phương trình a) Viết phương trình hình chiếu của ...

Bài 9. Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng (Delta ) có phương trình ({{x – 1} over 2} = {{y + 1} over { – 1}} = {z over 3}.)
a) Viết phương trình hình chiếu của (Delta ) trên các mặt phẳng tọa độ.
b) Chứng minh rằng mặt phẳng (x + 5y + z + 4 = 0) đi qua đường thẳng (Delta ).
c) Tính khoảng cách giữa đường thẳng (Delta ) và các trục tọa độ.
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng (Delta ) và (Delta ‘:x = y = z.)
e) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả (Delta ) và ’(Delta ‘).

Giải

a) Đường thẳng (Delta ) có phương trình tham số là:

(left{ matrix{
x = 1 + 2t hfill cr
y = – 1 – t hfill cr
z = 3t hfill cr} ight.)

Vì điểm M(x, y, z) có hình chiếu trên (Oxy) là M’(x, y, 0) nên hình chiếu ({d_1}) của (Delta ) trên (Oxy) có phương trình tham số là 

(left{ matrix{
x = 1 + 2t hfill cr
y = – 1 + t hfill cr
z = 0 hfill cr} ight.)

Hình chiếu ({d_2}) của (Delta ) trên (Oyz) là

(left{ matrix{
x = 0 hfill cr
y = – 1 – t hfill cr
z = 3t hfill cr} ight..)

Hình chiếu ({d_3}) của (Delta ) trên (Oxz) là 

(left{ matrix{
x = 1 + 2t hfill cr
y = 0 hfill cr
z = 3t hfill cr} ight..)

b) Lấy điểm (Mleft( {1 + 2t, – 1 – t,3t} ight) in Delta ,) thay tọa độ của M vào phương trình (mpleft( alpha  ight)) ta có:
(1 + 2t – 5left( {1 + t} ight) + 3t + 4 = 0 Rightarrow M in left( alpha  ight).)
Vậy (Delta  subset left( alpha  ight),) tức (mpleft( alpha  ight)) đi qua (Delta ).
c) (Delta ) qua điểm (Mleft( {1; – 1;0} ight)) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow u  = left( {2; – 1;3} ight).)
Đường thẳng chứa trục Ox qua O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow i left( {1;0;0} ight)).
Khoảng cách giữa (Delta ) và trục Ox là:

({h_1} = {{left| {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow i } ight].overrightarrow {OM} } ight|} over {left| {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow i } ight]} ight|}} = {{left| { – 3} ight|} over {sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = {{3sqrt {10} } over {10}}.)

Khoảng cách giữa (Delta ) và trục Oy là:

({h_2} = {{left| {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow j } ight].overrightarrow {OM} } ight|} over {left| {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow j } ight]} ight|}} = {{left| { – 3} ight|} over {sqrt {{{left( { – 3} ight)}^2} + {2^2}} }} = {{3sqrt {13} } over {13}}.)

Khoảng cách giữa (Delta ) và trục Oz là:

({h_3} = {{left| {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow k } ight].overrightarrow {OM} } ight|} over {left| {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow k } ight]} ight|}} = {{left| 1 ight|} over {sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = {{sqrt 5 } over 5}.)

d) Lấy (Pleft( {1 + 2t, – 1 – t,3t} ight) in Delta ,,Delta ) có vectơ chỉ phương (overrightarrow u  = left( {2; – 1;3} ight).)
(Qleft( {t’,t’,t’} ight) in Delta ‘,,,Delta ‘) có vectơ chỉ phương (overrightarrow {u’} left( {1;1;1} ight).)
Ta có (overrightarrow {QP}  = left( {1 + 2t – t’, – 1 – t – t’,3t – t’} ight).)

PQ là đường vuông góc chung của (Delta ) và (Delta ‘) khi và chỉ khi (overrightarrow {PQ}  ot overrightarrow u ) và (overrightarrow {PQ}  ot overrightarrow {u’} ,) tức là:

(eqalign{
& left{ matrix{
overrightarrow {QP} .overrightarrow u = 0 hfill cr
overrightarrow {QP} .overrightarrow {u’} = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
2left( {1 + 2t – t’} ight) – left( { – 1 – t – t’} ight) + 3left( {3t – t’} ight) = 0 hfill cr
1 + 2t – t’ – 1 – t – t’ + 3t – t’ = 0 hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
14t – 4t’ = – 3 hfill cr
4t – 3t’ = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
t = – {9 over {26}} hfill cr
t’ = – {6 over {13}} hfill cr} ight.. cr} )

Do đó (Qleft( { – {6 over {13}}; – {6 over {13}}; – {6 over {13}}} ight)) và (overrightarrow {QP}  = left( {{{20} over {16}},{{ – 5} over {16}},{{ – 15} over {16}}} ight) = {5 over {16}}left( {4; – 1; – 3} ight).)

Đường thẳng PQ đi qua Q và có vectơ chỉ phương (overrightarrow v  = left( {4; – 1; – 3} ight).) Do đó PQ có phương trình tham số là: 

(left{ matrix{
x = – {6 over {13}} + 4t hfill cr
y = – {6 over {13}} – t hfill cr
z = – {6 over {13}} – 3t hfill cr} ight..)

e) Lấy điểm (Pleft( {1 + 2t, – 1 – t,3t} ight) in Delta .)

(Qleft( {t’,t’,t’} ight) in Delta ‘.)

PQ // Oz ( Leftrightarrow overrightarrow {QP} ) cùng phương với 

(overrightarrow k = left( {0;0;1} ight) Leftrightarrow left{ matrix{
1 + 2t – t’ = 0 hfill cr
– 1 – t – t’ = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
t = – {2 over 3} hfill cr
t’ = – {1 over 3}. hfill cr} ight.)

Vậy PQ đi qua (Qleft( { – {1 over 3}, – {1 over 3}, – {1 over 3}} ight)) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow k  = left( {0;0;1} ight)) nên PQ có phương trình tham số là: 

(left{ matrix{
x = – {1 over 3} hfill cr
y = – {1 over 3} hfill cr
z = – {1 over 3} + t hfill cr} ight..)