Bài 85 trang 130 SGK giải tích 12 nâng cao

Bài 85 trang 130 SGK giải tích 12 nâng cao

Cho x < 0. Chứng minh rằng:

Bài 85. Cho (x < 0). Chứng minh rằng: (sqrt {{{ - 1 + sqrt {1 + {1 over 4}{{left( {{2^x} - {2^{ - x}}} ight)}^2}} } over {1 + sqrt {1 + {1 over 4}{{left( {{2^x} - {2^{ - x}}} ight)}^2}} }}}  = {{1 - {2^x}} over {1 + {2^x}}})

Giải

Ta có: (1 + {1 over 4}{left( {{2^x} - {2^{ - x}}} ight)^2} = {1 over 4}left( {4 + {4^x} - 2 + {4^{ - x}}} ight) = {1 over 4}left( {{4^x} + 2 + {4^{ - x}}} ight) = {1 over 4}{left( {{2^x} + {2^{ - x}}} ight)^2})

Do đó:

(eqalign{
& sqrt {{{ - 1 + sqrt {1 + {1 over 4}{{left( {{2^x} - {2^{ - x}}} ight)}^2}} } over {1 + sqrt {1 + {1 over 4}{{left( {{2^x} - {2^{ - x}}} ight)}^2}} }}} = sqrt {{{ - 1 + {1 over 2}left( {{2^x} + {2^{ - x}}} ight)} over {1 + {1 over 2}left( {{2^x} + {2^{ - x}}} ight)}}} = sqrt {{{{2^x} - 2 + {2^{ - x}}} over {{2^x} + 2 + {2^{ - x}}}}} cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = sqrt {{{{2^x} - 2 + {1 over {{2^x}}}} over {{2^x} + 2 + {1 over {{2^x}}}}}} = sqrt {{{{4^x} - {{2.2}^x} + 1} over {{4^x} + {{2.2}^x} + 1}}} = sqrt {{{{{left( {{2^x} - 1} ight)}^2}} over {{{left( {{2^x} + 1} ight)}^2}}}} = {{1 - {2^x}} over {1 + {2^x}}} cr} ) 

                                (vì với (x < 0) thì ({2^x} < 1))  

soanbailop6.com