Bài 52,53,54 ,55,56,57 trang 79,80 Toán 7 tập 2: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 52,53,54 ,55,56,57 trang 79,80 Toán 7 tập 2: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Tính chất ba đường trung trực của tam giác : Giải bài 52 trang 79; Bài 53,54,55,56,57 trang 80 Toán 7 tập 2.

Bài 52. Chứng  minh định lí: Nếu Δ có một đường trung tuyến đồng thời là đường trungtrực ứng với cùng một cạnh thì Δđó là một Δcân.

Hướng dẫn: Xét ΔABC với AH là đường trung tuyến đồng thời là đường trungtrực nên

AH ⊥ BC và HB = HC

Xét hai Δvuông HAB và HAC có:

HB = HC; ∠H₁ = ∠H₂ = 90⁰

AH: cạnh chung

Nên ∆HAB = ∆HAC => AB = AC

Vậy ∆ABC cân tại A

Bài 53. Ba gia đình quyết định đào chung một cái giếng. Phải chọn vị trí của giếng ở  đâu để các khoảng cách từ giếng đến các nhà bằng nhau?

Hướng dẫn:  Vì điểm đào giếng cách  ba ngôi nhà (ba ngôi nhà không cùng nằm trên một đường thẳng) nên điểm đó chính là giao điểm ba đường trung-trực của ba cạnh trong Δcó đỉnh là ba ngôi nhà.

Bài 54 trang 80. Vẽ đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) ∠A, ∠B, ∠C đều nhọn

b) ∠A = 90⁰

c) ∠A > 90⁰

Hướng dẫn:  Đường tròn đi qua ba đỉnh của Δ gọi là đường tròn ngoại tiếp Δ đó. Để vẽ đường tròn ngoại tiếp ta cần xác định tâm của đường tròn đó. Muốn xác định tâm ta vẽ hai đường trung-trực và giao điểm hai đường trung-trực ( cũng là giao điểm của ba trungtrực cần tìm)

Nhận xét:

– Nếu Δ có ba góc đều nhọn thì tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trongΔ.

– Nếu Δcó góc vuông thì tâm đường tròn nằm trên cạnh huyền ( tâm là trung điểm của cạnh huyền)

– Nếu Δ có góc tù thì tâm đường tròn ngoại tiếp nằm ngoài tam giác.

Bài 55. Cho hình bên:

Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng

Gợi ý: Chứng minh  ∠ADB +  ∠ADC = 180⁰

Hướng dẫn giải bài 55:

Từ hình vẽ ta có:

DK là trung trực của Ac, DI là đường trung trực của AB. Do đó ∆ADK = ∆CDK (c.c.c)

=> ∠ADK = ∠ CDK

hay DK là phân giác ∠ ADC

=> ∠ ADK = 1/2 ∠ ADC

∆ADI = ∆BDI (c.c.c)

=> ∠ ADI = ∠ BDI

=> DI là phân giác ∠ ADB

=> ∠ ADI = 1/2 ∠ ADB

Vì AC // DI ( cùng vuông góc với AB) mà DK ⊥ AC

=> DK ⊥ DI

hay ∠ ADK + ∠ADI = 90º

Do đó  1/2 ∠ADC + 1/2 ∠ADB = 90⁰

=> ∠ADC + ∠ADB  =  180⁰

=> ∠BDC = 180º => ∠BDC là góc bẹt nên ba điểm B, C, D thẳng hàng.

Bài 56 trang 80. Sử dụng bài 55 để chứng minh rằng: Điểm cách đều ba đỉnh của một Δvuông là trung điểm của cạnh huyền của Δ đó.

Từ đó hãy tính độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông theo độ dài cạnh huyền của một Δ vuông.

Hướng dẫn: a) Giả sử ∆ABC vuông góc tại A. Vẽ hai đường trung trực của hai cạnh góc vuông AB, AC cắt nhau tại M. Ta chứng minh M là trung điểm của BC.

Vì M là giao điểm hai đường trungtrực d₁, d₂

của AB, AC mà AB ⊥ AC nên B, M, C thẳng hàng (bài tập 55)

Vì MA = MB (M thuộc đường trungtrực của AB)

MA = MC (M thuộc đường trungtrực của AC)

=> MB = MC

Do B, M, C thẳng hàng và M cách đều BC nên M là trung điểm của BC

b) M là trung điểm Bc => MB = 1/2 BC

mà AM = MB nên MA = 1/2 BC

Vậy độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông bằng một nửa độ dài cạnh huyền.

Bài 57 Toán 7. Có một chi tiết máy ( mà đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy. Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền này.

Lấy ba điểm phân biệt A, B, C trên đường viền ngoài, suy ra  ∆ABC có đường tròn ngoại tiếp chính là đường viền ngoài. Do đó tâm đường tròn ngoại tiếp chính là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB, AC nên bán kính là độ dài đoạn thẳng từ giao điểm O đến A.