Bài 14 trang 222 Đại số 10 Nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau...

Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) (f(x) = x + {2 over {x + 2}}) trên khoảng ((-2; +∞))

b) (g(x) = 3{x^2} + {1 over x}) trên khoảng ((0; +∞))

Đáp án

a) Áp dụng bất đẳg thức Cô-si, ta có:

(f(x) = x + 2{2 over {x + 2}} – 2 ge 2sqrt {(x + 2){2 over {x + 2}}}  – 2 )

                                                                     (= 2sqrt 2  – 2) 

Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi:

(x + 2 = {2 over {x + 2}} Leftrightarrow {(x + 2)^2} = 2 Leftrightarrow left{ matrix{
x = sqrt 2 – 2 hfill cr
x = – sqrt 2 – 2 hfill cr} ight.)

b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số, ta có:

(g(x) = 3{x^2} + {1 over {2x}} + {1 over {2x}} ge 3 oot 3 of {3{x^2}.{1 over {2x}}.{1 over {2x}}}  = 3 oot 3 of {{3 over 4}} )

Dấu “=” xảy ra ( Leftrightarrow 3{x^2} = {1 over {2x}} Leftrightarrow x = oot 3 of {{1 over 6}} )

Vậy: (min ,g(x) = 3 oot 3 of {{3 over 4}}  Leftrightarrow x = oot 3 of {{1 over 6}} )