Bài 5 trang 31 SKG Hình học 12 Nâng cao

Bài 5 trang 31 SKG Hình học 12 Nâng cao

Cho khối lăng trụ đểu ABC.A'B'C’ và M là trung điểm của cạnh AB. Mặt phẳng (B'CM) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

Bài 5. Cho khối lăng trụ đểu (ABC.A'B'C’) và (M) là trung điểm của cạnh (AB). Mặt phẳng ((B'CM)) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

Giải

 

Gọi (I) là giao điểm của đường thẳng (B’M) với (AA’); (N) là giao điểm của (IC’) với (AC). Khi đó (A) là trung điểm của (A’I) và (N) là trung điểm của (AC).

Đặt ({S_{ABC}} = S) và (AA' = h)

Thiết diện của mp ((B’C’M)) với khối lăng trụ (ABC.A’B’C’) là hình thang cân (MNC’B’). Mp ((B’C’M)) chia khối lăng trụ thành hai phần, phần chứa cạnh (AA’) có thể tích là ({V_1}), phần còn lại có thể tích là ({V_2}). Khi đó ta có:

(eqalign{
& {V_1} = {V_{AMN.A'B'C'}} = {V_{I.A'B'C'}} - {V_{I.AMN}} = {1 over 3}S.2h - {1 over 3}.{S over 4}h cr
& = {2 over 3}Sh - {1 over {12}}Sh = {7 over {12}}Sh = {7 over {12}}left( {{V_1} + {V_2}} ight) cr
& Rightarrow 12{V_1} = 7{V_1} + 7{V_2} Rightarrow {{{V_1}} over {{V_2}}} = {7 over 5} cr} )

soanbailop6.com