Bài 19 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao

Bài 19 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AC = b. . Đường thẳng BC’ tạo với mp(AA’C’C) một góc . a) Tính độ dài đoạn thẳng AC. b) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

Bài 19. Cho khối lăng trụ đứng (ABC.A’B’C’) có đáy là tam giác (ABC) vuông tại (A, AC = b). (widehat {ACB} = {60^0}). Đường thẳng (BC’) tạo với mp ((AA’C’C)) một góc ({30^0}).

a) Tính độ dài đoạn thẳng (AC).

b) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

Giải

a) Ta có: (BA ot AC) và (BA ot AA') nên (BA ot left( {ACC'A'} ight))
Vậy (AC’) là hình chiếu của (BC’) trên mp ((ACC’A’)) nên (widehat {AC'B} = {30^0})
Trong tam giác vuông (BAC’), ta có: (cot {30^0} = {{AC'} over {AB}} Rightarrow AC' = AB.cot{30^0} = AC. an {60^0}.cot {30^0} = bsqrt 3 .sqrt 3  = 3b)
b) Trong tam giác vuông (ACC’), ta có: (CC{'^2} = AC{'^2} - A{C^2} = 9{b^2} - {b^2} = 8{b^2} Rightarrow CC' = 2sqrt 2 b)
Diện tích là: ({S_{ABC}} = {1 over 2}AB.AC = {1 over 2}bsqrt 3 .b = {{{b^2}sqrt 3 } over 2})
Thể tích khối lăng trụ (V = S.h = {{{b^2}sqrt 3 } over 2}.2sqrt 2 b = {b^3}sqrt 6 )

loigaihay.com