Bài 5 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Cho dãy số ...
Cho dãy số
Cho dãy số
(eqalign{
& left( {{u_n}}
ight): cr
& {
m{ }}left{ matrix{
{u_1} = {1 over 3} hfill cr
{u_{n + 1}} = {{left( {n + 1}
ight){u_n}} over {3n}}{
m{voi }}n ge 1 hfill cr}
ight. cr} )
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Lập dãy số (left( {{v_n}} ight)) với ({v_n} = {{{u_n}} over n}). Chứng minh dãy số (left( {{v_n}} ight)) là cấp số nhân.
c) Tìm công thức tính (left( {{u_n}} ight)) theo n.
Giải:
a) Năm số hạng đầu là ({1 over 3},{2 over 9},{1 over 9},{4 over {81}},{5 over {243}})
b) Lập tỉ số ({{{v_{n + 1}}} over {{v_n}}} = {{{u_{n + 1}}} over {n + 1}}.{n over {{u_n}}} = {{{u_{n + 1}}} over {{u_n}}}.{n over {n + 1}}) (1)
Theo công thứcđịnh nghĩa ta có ({{{u_{n + 1}}} over {{u_n}}} = {{n + 1} over {3n}}) (2)
Từ (1) và (2) suy ra ({{{v_{n + 1}}} over {{v_n}}} = {1 over 3}) hay ({v_{n + 1}} = {1 over 3}{v_n})
Vậy, dãy số (left( {{v_n}} ight)) là cấp số nhân, có ({v_1} = {1 over 3},q = {1 over 3})
c) Để tính (left( {{u_n}} ight)), ta viết tích của n - 1 tỉ số bằng (,{1 over 3})
({{{v_n}} over {{v_{n - 1}}}}.{{{v_{n - 1}}} over {{v_{n - 2}}}}...{{{v_3}} over {{v_2}}}.{{{v_2}} over {{v_1}}} = {left( {{1 over 3}} ight)^{n - 1}})
Hay ({{{v_n}} over {{v_1}}} = {left( {{1 over 3}} ight)^{n - 1}}), suy ra ({v_n} = {1 over 3}{left( {{1 over 3}} ight)^{n - 1}} = {1 over {{3^n}}})
Vậy ({u_n} = {n over {{3^n}}})
