Bài 2 trang 10 SGK Giải tích 12
Giải bài 2 trang 10 SGK Giải tích 12. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: ...
Giải bài 2 trang 10 SGK Giải tích 12. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
Đề bài
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a) (y=frac{3x+1}{1-x}) ; b) (y=frac{x^{2}-2x}{1-x}) ;
c) (y=sqrt{x^{2}-x-20}) ; d) (y=frac{2x}{x^{2}-9}).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Tìm tập xác định của hàm số.
+) Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm xi (I =1,2,3,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
+) Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên
+) Dựa vào bảng biến thiên để kết luận khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số trên tập xác định của nó. (nếu y’ > 0 thì hàm số đồng biến, nếu y’ < 0 thì hàm số nghịch biến)
Ở bài toán này cần chú ý các tập xác định của hàm số.
Lời giải chi tiết
a) (y=frac{3x+1}{1-x}=frac{3x+1}{-x+1})
Tập xác định: (D=Rackslash left{ 1 ight}.)
Có: (y'=frac{3.1-(-1).1}{{{left( -x+1 ight)}^{2}}}=frac{4}{{{left( -x+1 ight)}^{2}}}>0 forall xin D.)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó là: (left( -infty ; 1 ight)) và (left( 1;+infty ight).)
Chú ý cách tính giới hạn để điền vào BBT: (underset{x o pm infty }{mathop{lim }},frac{3x+1}{1-x}=-3; underset{x o {{1}^{+}}}{mathop{lim }},frac{3x+1}{1-x}=-infty ; underset{x o {{1}^{-}}}{mathop{lim }},frac{3x+1}{1-x}=+infty )
b) (y=frac{{{x}^{2}}-2x}{1-x}.)
Tập xác định: (D=Rackslash left{ 1 ight}.)
Có:
(egin{align}& y'=frac{left( 2x-2 ight)left( 1-x ight)+{{x}^{2}}-2x}{{{left( 1-x ight)}^{2}}}=frac{-{{x}^{2}}+2x-2}{{{left( 1-x ight)}^{2}}}=frac{-left( {{x}^{2}}-2x+2 ight)}{{{left( 1-x ight)}^{2}}}=frac{-left( {{x}^{2}}-2x+1 ight)-1}{{{left( 1-x ight)}^{2}}} & =frac{-{{left( x-1 ight)}^{2}}-1}{{{left( 1-x ight)}^{2}}}=-1-frac{1}{{{left( 1-x ight)}^{2}}}<0 forall xin D. end{align})
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó là: (left( -infty ; 1 ight)) và (left( 1;+infty ight).)
Chú ý: cách tính giới hạn để điền vào bảng biến thiên:
(egin{align}& underset{x o +infty }{mathop{lim }},frac{{{x}^{2}}-2x}{1-x}=-infty ; underset{x o -infty }{mathop{lim }},frac{{{x}^{2}}-2x}{1-x}=+infty & underset{x o {{1}^{+}}}{mathop{lim }},frac{3x+1}{1-x}=+infty ; underset{x o {{1}^{-}}}{mathop{lim }},frac{3x+1}{1-x}=-infty end{align})
c) (y=sqrt{{{x}^{2}}-x-20})
Có ({{x}^{2}}-x-20ge 0Leftrightarrow left( x+4 ight)left( x-5 ight)ge 0Leftrightarrow left[ egin{align} & xle -4 & xge 5 end{align} ight..)
Tập xác định: (D=left( -infty ;-4 ight]cup left[ 5;+infty ight).)
Có (y'=frac{2x-1}{2sqrt{{{x}^{2}}-x-20}}Rightarrow y'=0Leftrightarrow 2x-1=0Leftrightarrow x=frac{1}{2})
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (left( -infty ;-4 ight)) và đồng biến trên khoảng (left( 5;+infty ight).)
Chú ý: cách tính giới hạn để điền vào BBT:
(egin{align} & underset{x o -infty }{mathop{lim }},sqrt{{{x}^{2}}-x-20}=+infty ; underset{x o +infty }{mathop{lim }},sqrt{{{x}^{2}}-x-20}=+infty & underset{x o {{4}^{-}}}{mathop{lim }},sqrt{{{x}^{2}}-x-20}=0; underset{x o {{5}^{+}}}{mathop{lim }},sqrt{{{x}^{2}}-x-20}=0. end{align})
d) (y=frac{2x}{{{x}^{2}}-9}.)
Có ({{x}^{2}}-9 e 0Leftrightarrow x e pm 3.)
Tập xác định: (D=Rackslash left{ pm 3 ight}.)
Có: (y'=frac{2left( {{x}^{2}}-9 ight)-2x.2x}{{{left( {{x}^{2}}-9 ight)}^{2}}}=frac{-2{{x}^{2}}-18}{{{left( {{x}^{2}}-9 ight)}^{2}}}=frac{-2left( {{x}^{2}}+9 ight)}{{{left( {{x}^{2}}-9 ight)}^{2}}}<0 forall xin D.)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó là: (left( -infty ; -3 ight); left( -3; 3 ight)) và (left( 3; +infty ight).)
Chú ý: Cách tính giới hạn để điền vào BBT:
(egin{align}& underset{x o -infty }{mathop{lim }},frac{2x}{{{x}^{2}}-9}=0; underset{x o +infty }{mathop{lim }},frac{2x}{{{x}^{2}}-9}=0 & underset{x o -{{3}^{+}}}{mathop{lim }},frac{2x}{{{x}^{2}}-9}=+infty ; underset{x o -{{3}^{-}}}{mathop{lim }},frac{2x}{{{x}^{2}}-9}=-infty & underset{x o {{3}^{+}}}{mathop{lim }},frac{2x}{{{x}^{2}}-9}=+infty ; underset{x o {{3}^{-}}}{mathop{lim }},frac{2x}{{{x}^{2}}-9}=-infty . end{align})
soanbailop6.com
