Bài 4 trang 37 sgk giải tích 11: Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp...

Bài tập :

Bài 4. Giải các phương trình sau:

a) (2si{n^2}x{ m{ }} + { m{ }}sinxcosx{ m{ }} – { m{ }}3co{s^2}x{ m{ }} = { m{ }}0);

b) (3si{n^2}x{ m{ }} – { m{ }}4sinxcosx{ m{ }} + { m{ }}5co{s^2}x{ m{ }} = { m{ }}2);

c) (si{n^2}x{ m{ }} + { m{ }}sin2x{ m{ }} – { m{ }}2co{s^2}x{ m{ }} = {1 over 2}) ;

d) (2co{s^2}x{ m{ }} – { m{ }}3sqrt 3 sin2x{ m{ }} – { m{ }}4si{n^2}x{ m{ }} = { m{ }} – 4).

Giải

a) Dễ thấy (cosx = 0) không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho (cos^2x) ta được phương trình tương đương (2tan^2x + tanx – 3 = 0).

Đặt (t = tanx) thì phương trình này trở thành

(2{t^2} + t – 3 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
t = 1 hfill cr
t = – {3 over 2} hfill cr} ight.)

Phương trình đã cho tương đương:

(left[ matrix{
an x = 1 hfill cr
an x = – {3 over 2} hfill cr} ight.)

(Leftrightarrow left[ matrix{
x = {pi over 4} + kpi hfill cr
x = arctan left( { – {3 over 2}} ight) + kpi hfill cr} ight.(k inmathbb{Z} ))

b)(3si{n^2}x{ m{ }} – { m{ }}4sinxcosx{ m{ }} + { m{ }}5co{s^2}x{ m{ }} = { m{ }}2)

(Leftrightarrow 3si{n^2}x{ m{ }} – { m{ }}4sinxcosx{ m{ }} + { m{ }}5co{s^2}x{ m{ }} = { m{ }}2si{n^2}x{ m{ }})

(+ { m{ }}2co{s^2}x)

(Leftrightarrow sin^2x – 4sinxcosx + 3cos^2x = 0)

Dễ thấy (cosx = 0) không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho (cos^2x) ta được phương trình tương đương

(Leftrightarrow tan^2x – 4tanx + 3 = 0)

(Leftrightarrow left[ matrix{
an x = 1 hfill cr
an x = 3 hfill cr} ight.)

(Leftrightarrow left[ matrix{
x = {pi over 4} + kpi hfill cr
x = arctan 3 + kpi hfill cr} ight.(k in mathbb{Z}))

c) (si{n^2}x{ m{ }}+{ m{ }}sin2x{ m{ }} – { m{ }}2co{s^2}x{ m{ }} = {1 over 2})

 (Leftrightarrow si{n^2}x{ m{ }} + 2sinxcosx- { m{ }}2co{s^2}x{ m{ }} =)

({1 over 2}(sin^2x+cos^2x))

({1 over 2}si{n^2}x{ m{ }} + { m{ }}2sinxcosx{ m{ }} -{5over 2}co{s^2}x = 0)

( Leftrightarrow si{n^2}x +4sin xcos x – 5{cos ^2}x = 0)

Dễ thấy (cosx = 0) không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho (cos^2x) ta được phương trình tương đương

( an x + 4 an x – 5= 0 Leftrightarrow left[ matrix{
an x = 1 hfill cr
an x = -5 hfill cr} ight.)

( Leftrightarrow left[ matrix{
x = {pi over 4} + kpi hfill cr
x = arctan (-5)+ kpi hfill cr} ight.(k inmathbb{Z} ))

d) (2co{s^2}x{ m{ }} – { m{ }}3sqrt 3 sin2x{ m{ }} – { m{ }}4si{n^2}x{ m{ }} = { m{ }} – 4)

(Leftrightarrow 2{cos ^2}x – 3sqrt 3 sin 2x + 4 – 4{sin ^2}x = 0)

(Leftrightarrow 2{cos ^2}x – 3sqrt 3 sin 2x + 4 – 4(1 – {cos ^2}x) = 0)

(Leftrightarrow 6{cos ^2}x – 6sqrt 3 sin xcos x = 0)

(Leftrightarrow 6cos x(cos x – sqrt 3 sin x) = 0)

(Leftrightarrow left[ matrix{
cos x = 0(1) hfill cr
cos x – sqrt 3 sin x = 0(2) hfill cr} ight.)

Giải (1) ta được (x={piover 2}+kpi) ((kinmathbb{Z}))

Giải (2): Dễ thấy (cosx = 0) không thỏa mãn phương trình nên chia phương trình cho (cosx) ta được phương trình tương đương:

(tanx={1oversqrt3}Leftrightarrow x={piover6}+kpi(kinmathbb{Z}))