Bài 5 trang 37 giải tích 11: Giải các phương trình sau...

Bài 5. Giải các phương trình sau:

a) (cosx – sqrt3sinx = sqrt2);

b) (3sin3x – 4cos3x = 5);

c) (2sin2x + 2cos2x – sqrt2 = 0);

d) (5cos2x + 12sin2x -13 = 0).

Giải

a) (cosx – sqrt3sinx = sqrt2)

( Leftrightarrow {1 over 2}cos x – {{sqrt 3 } over 2}{mathop{ m sinx} olimits}  = {{sqrt 2 } over 2})

( Leftrightarrow cos x.cos {pi  over 3} – sin xsin {pi  over 3} = cos {pi  over 4})

( Leftrightarrow cos left( {x + {pi  over 3}} ight) = cos {pi  over 4})

( Leftrightarrow left[ matrix{
x + {pi over 3} = {pi over 4} + k2pi hfill cr
x + {pi over 3} = – {pi over 4} + k2pi hfill cr} ight.)

( Leftrightarrow left[ matrix{
x = – {pi over {12}} + k2pi hfill cr
x = – {{7pi } over {12}} + k2pi hfill cr} ight.(k inmathbb{Z} ))

b) (3sin3x – 4cos3x = 5)

( Leftrightarrow {3 over 5}sin 3x – {4 over 5}cos 3x = 1)

Đặt (alpha =arccos{3over5}) thì phương trình trở thành

(cosαsin3x – sinαcos3x = 1)( ⇔ sin(3x – α) = 1)

( ⇔ 3x – α = {piover2} + k2π)

( Leftrightarrow x = {pi  over 6} + {alpha  over 3} + {{k2pi } over 3}(k in mathbb{Z}))

c) (2sin2x + 2cos2x – sqrt2 = 0)

(Leftrightarrow {1 over {sqrt 2 }}sin 2x + {1 over {sqrt 2 }}cos 2x = {1 over 2})

( Leftrightarrow sin 2x.cos {pi  over 4} + cos 2x.sin {pi  over 4} = sin {pi  over 6})

( Leftrightarrow sin left( {2x + {pi  over 4}} ight) = sin {pi  over 6})

( Leftrightarrow left[ matrix{
2x + {pi over 4} = {pi over 6} + k2pi hfill cr
2x + {pi over 4} = pi – {pi over 6} + k2pi hfill cr} ight.)

( Leftrightarrow left[ matrix{
x = – {pi over {12}} + kpi hfill cr
x = {{7pi } over {12}} + kpi hfill cr} ight.(k in mathbb{Z}))

d) (5cos2x + 12sin2x -13 = 0)

( Leftrightarrow {5 over {13}}cos 2x + {{12} over {13}}sin 2x = 1)

Đặt (alpha = arccos{5over13}) thì phương trình trở thành

(cosαcos2x + sinαsin2x = 1 ⇔ cos(2x – α) = 1)

(⇔ 2x-alpha = k2π) (Leftrightarrow x={alphaover2}+kpi), ((k ∈ mathbb{Z}))

(trong đó (α = arccos{5over13})).