Bài 3 trang 37 sgk giải tích 11: Giải các phương trình sau...

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) (si{n^2}{x over 2} – { m{ }}2cos{x over 2} + { m{ }}2{ m{ }} = { m{ }}0);

b) (8co{s^2}x{ m{ }} + { m{ }}2sinx{ m{ }} – { m{ }}7{ m{ }} = { m{ }}0);

c) (2ta{n^2}x{ m{ }} + { m{ }}3tanx{ m{ }} + { m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}0);

d) (tanx{ m{ }} – { m{ }}2cotx{ m{ }} + { m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}0).

Giải

a) Đặt (t = { m{ }}cos{x over 2},{ m{ }}t in left[ { – 1{ m{ }};{ m{ }}1} ight]) thì phương trình trở thành

((1{ m{ }} – { m{ }}{t^2}){ m{ }} – { m{ }}2t{ m{ }} + { m{ }}2{ m{ }} = { m{ }}0 Leftrightarrow {t^{2}} + { m{ }}2t{ m{ }} – 3{ m{ }} = { m{ }}0)

( Leftrightarrow left[ matrix{
t = 1 hfill cr
t = – 3 hfill ext{(loại)}cr} ight.)

Phương trình đã cho tương đương với

(cos{x over 2} = { m{ }}1 Leftrightarrow {x over 2} = { m{ }}k2pi  Leftrightarrow { m{ }}x{ m{ }} = { m{ }}4kpi ,{ m{ }}k inmathbb{Z} ).

 b) Đặt (t = sinx, t ∈ [-1 ; 1]) thì phương trình trở thành

(8(1{ m{ }} – {t^2}){ m{ }} + { m{ }}2t{ m{ }} – { m{ }}7{ m{ }} = { m{ }}0{ m{ }} Leftrightarrow { m{ }}8{t^{2}} – { m{ }}2t{ m{ }} – { m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}0)

( Leftrightarrow left[ matrix{
t = {1 over 2} hfill cr
t = – {1 over 4} hfill cr} ight.)

Phương trình đã cho tương đương :

(sinx = {1 over 2} Leftrightarrow sin x = {pi over 6} Leftrightarrow left[ matrix{
x = {pi over 6} + k2pi hfill cr
x = {{5pi } over 6} + k2pi hfill cr} ight.(k in mathbb{Z}))

và

(sinx = – {1 over 4} Leftrightarrow sin x = arcsin left( { – {1 over 4}} ight))

(Leftrightarrow left[ matrix{
x = arcsin left( { – {1 over 4}} ight) + k2pi hfill cr
x = pi – arcsin left( { – {1 over 4}} ight) + k2pi hfill cr} ight.(k in mathbb{Z}))

c) Đặt (t = tanx) thì phương trình trở thành

(2{t^{2}} + { m{ }}3t{ m{ }} + { m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}0 Leftrightarrow left[ matrix{
t = – 1 hfill cr
t = – {1 over 2} hfill cr} ight.)

Phương trình đã cho tương đương:

(left[ matrix{
an x = – 1 hfill cr
an x = – {1 over 2} hfill cr} ight.)

( Leftrightarrow left[ matrix{
x = – {pi over 4} + kpi hfill cr
x = arctan left( { – {1 over 2}} ight) + kpi hfill cr} ight.(k in mathbb{Z}))

d) Đặt (t = tanx) thì phương trình trở thành

(t – {2 over t} + { m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}0 Leftrightarrow {t^{2}} + { m{ }}t{ m{ }} – { m{ }}2{ m{ }} = { m{ }}0 Leftrightarrow left[ matrix{
t = 1 hfill cr
t = – 2 hfill cr} ight.)

Phương trình đã cho tương đương:

(left[ matrix{
{mathop{ m tanx} olimits} = 1 hfill cr
tanx = – 2 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = {pi over 4} + kpi hfill cr
x = arctan ( – 2) + kpi hfill cr} ight.(k inmathbb{Z} ))