Bài 4 trang 34 sách giáo khoa hình học lớp 11: Ôn tập Chương I – Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng...

Bài 4. Cho vectơ (v), đường thẳng (d) vuông góc với giá của vectơ (v). Gọi (d’) là ảnh của (d) qua phép tịnh tiến theo vectơ ( frac{1}{2}) ( overrightarrow{v}). Chứng minh rằng phép tịnh tiến theo vectơ ( overrightarrow{v})

 là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng (d) và (d’)

Lời giải:

Lấy (M) tùy ý. Gọi ({D_{d}}(M) = M’), ({D_{d’}} (M’) = M”).

Gọi (M_0,M_1) lần lượt là giao của (d) và (d’) với (MM”)

Ta có

( overrightarrow{MM”}) =(overrightarrow{MM’} + overrightarrow{M’M”}= 2overrightarrow{{M_{0}M’}^{}} + 2 overrightarrow{M'{M_{1}}^{}})

(= 2 overrightarrow{{M_{0}{M_{1}}^{}}^{}} = 2 frac{overrightarrow{v}}{2} = overrightarrow{v})

Vậy (M” = {T_{overrightarrow{v}}} (M) = {D_{d’}}) ({D_{d}}(M)), với mọi (M)

Do đó phép tịnh tiến theo vectơ (v) là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng (d) và (d’).