Bài 3 trang 82 sgk Toán 11: Bài 1. Phương pháp quy nạp Toán học...

Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên (n ≥ 2), ta có các bất đẳng thức:

a) (3^n> 3n + 1);                  b) (2^{n+1} > 2n + 3)

Hướng dẫn giải:

a) Dễ thấy bất đẳng thức đúng với (n = 2)

Giả sử bất đẳng thức đúng với (n = k ≥ 2), tức là

                       (3^k> 3k + 1)         (1)

Nhân hai vế của (1) vơi (3), ta được:

                       (3^{k+1} > 9k + 3 Leftrightarrow 3^{k+1} > 3k + 4 + 6k -1).

Vì (6k – 1 > 0) nên (3^{k+1} > 3k + 4) 

hay (3^{k+1} > 3(k + 1) + 1).

tức là bất đẳng thức đúng với (n = k + 1).

Vậy (3^n> 3n + 1) với mọi số tự nhiên (n ≥ 2).

b) Với (n = 2) thì vế trái bằng (8), vế phải bằng (7). Vậy bất đẳng thức đúng với (n = 2)

Giả sử bất đẳng thức đúng với (n = k ≥ 2), tức là

          (2^{k+1} > 2k + 3)          (2)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với (n= k + 1), nghĩa là phải chứng minh

           ({2^{k{ m{ }} + { m{ }}2}} > 2left( {k{ m{ }} + { m{ }}1} ight) + 3{ m{ }} Leftrightarrow {2^{k{ m{ }} + { m{ }}2}} > 2k + 5)

Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với (2), ta được:

       ({2^{k + 2}} > 4k + 6 Leftrightarrow {2^{k+2}} > 2k + 5 + 2k + 1).

Vì (2k + 1> 0) nên ({2^{(k + 1)+1}}> 2k + 5=2(k+1)+3)

Vậy ({2^{n+1}} > 2n + 3) với mọi số tự nhiên (n ≥ 2).