Bài 5 trang 83 Toán 11: Bài 1. Phương pháp quy nạp Toán học...

Bài 5. Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi (n) cạnh là ({{n(n – 3)} over 2})

Giải:

Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi (n in{mathbb N}^*), (n ≥ 4).

Với (n = 4), ta có tứ giác nên nó có hai đường chéo.

Mặt khác thay (n = 4) vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là: ({{4(4 – 3)} over 2} = 2)

Vậy khẳng định đúng với (n= 4).

Giả sử khẳng định đúng với (n = k ≥ 4), tức là đa giác lồi (k) cạnh có số đường chéo là ({{k(k – 3)} over 2})

Ta phải chứng minh khẳng định đúng với (n = k + 1). Nghĩa là phải chứng minh đa giác lồi (k + 1) cạnh có số đường chéo là ({{(k + 1)((k + 1) – 3)} over 2})
Xét đa giác lồi (k + 1) cạnh 
Nối (A_1) và (A_k), ta được đa giác (k) cạnh (A_1A_2…A_k) có ({{k(k – 3)} over 2}) đường chéo (giả thiết quy nạp). Nối (A_{k+1}) với các đỉnh (A_1,A_2..,A_{k-1}), ta được thêm (k -2) đường chéo, ngoài ra (A_1A_k) cũng là một đường chéo.

Vậy số đường chéo của đa giác (k + 1) cạnh là

   ({{k(k – 3)} over 2}+ k – 2 + 1 ={{{k^2} – k – 2} over 2} = {{(k + 1)((k + 1) – 3)} over 2})

Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác (k + 1) cạnh

Vậy bài toán đã được chứng minh.