Bài 3 trang 60 sách giáo khoa hình học lớp 11: Bài 2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song...

Bài 3. Cho tứ diện (ABCD). Gọi (M, N) lần lượt là trung đểm của các cạnh (AB, CD) và (G) là trung điểm của đoạn (MN)

a) Tìm giao điểm (A’) của đường thẳng (AG) và mặt phẳng ((BCD))

b) Qua (M) kẻ đường thẳng (Mx) song song với (AA’) và (Mx) cắt ((BCD)) tại (M’). Chứng minh (B, M’, A’) thẳng hàng và (BM’ = M’A’ = A’N).

c) Chứng minh (GA = 3 GA’).

Lời giải:

a) Trong  ((ABN)): Gọi (A’=AG  cap BN)

suy ra ( A’ in BN), (BN subset (BCD)).

Do đó: (A’ in (BCD)) (=> A’ = AG cap (BCD)).

b) (MM’//AA’) mà (AA’subset (ABA’)) do đó: (MM’subset (ABA’))

Mặt khác (M’in (BCD)) nên (M’) thuộc giao tuyến (A’B) của ((ABA’)) và ((DBC))

*) Xét tam giác (NMM’) có:

+) (G) là trung điểm của (NM).

+) (GA’//MM’)

(Rightarrow A’) là trung điểm của (NM’)

Xét tam giác (BAA’) có:

+) (M ) là trung điểm của (AB) 

+) (MM’//AA’)

(Rightarrow M’) là trung điểm của (BA’)

Do đó: (BM’=M’A’=A’N).

c) Ta có (GA’={1over 2} MM’)

             (MM’={1over 2} AA’)

(Rightarrow GA’={1over 4} AA’Rightarrow GA=3 GA’)