Bài 3 trang 146 SGK Giải tích 12

Bài 3 trang 146 SGK Giải tích 12

Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua hai điểm A(1, 2) và B(-2, -1)

Cho hàm số : y = x³ + ax² + bx + 1

a) Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua hai điểm A(1, 2) và B(-2, -1)

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với các giá trị  tìm được của a và b.

c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 0, x = 0, x = 1 và đồ thị (C) quanh trục hoành.

Trả lời:

a) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(1, 2) và B (-2, -1) khi và chỉ khi: 

(left{ matrix{
2 = 1 + a + b + 1 hfill cr
- 1 = - 8 + 4a - 2b + 1 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
a = 1 hfill cr
b = - 1 hfill cr} ight.)

b) Khi a = 1, b = -1 ta có hàm số: y = x³ + x² – x + 1

_ Tập xác định: (-∞, + ∞)

_ Sự biến thiên: y’ = 3x² + 2x – 1

y’= 0 ⇔ x = -1, x = ({1 over 3})

Trên các khoảng (-∞, -1) và (({1 over 3}, + infty )) , y’>0 nên hàm số đồng biến

Trên khoảng (( - 1,{1 over 3}))  , y’ < 0 nên hàm số nghịch biến

_ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -1, y_CD = 2

Hàm số đạt cực tiểu tại (x = {1 over 3},{y_{CT}} = {{22} over {27}})

_ Giới hạn tại vô cực: (mathop {lim }limits_{x o  + infty } y =  + infty ;mathop {lim }limits_{x o  - infty } y =  - infty )

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị cắt trục tung tại y = 1, cắt trục hoành tại x ≈ -1, 84

c) Trong khoảng (0, 1) ta có y > 0.

Vì vậy, thể tích cần tìm là:

(V = pi int_0^1 {({x^3}}  + {x^2} - x + 1{)^2}dx = {{134pi } over {105}})