Bài 3 trang 130 sgk toán 8 tập 2

Bài 3 trang 130 sgk toán 8 tập 2

Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ bất kì thì chia hết cho 8.

Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ bất kì thì chia hết cho 8.

Hướng dẫn làm bài:

Gọi hai số lẻ bất kì là 2a + 1 và 2b + 1 (a, b ∈ Z)

Hiệu bình phương của hai số lẻ đó bằng :

({left( {2a{ m{ }} + { m{ }}1} ight)^2}-{ m{ }}{left( {2b{ m{ }} + { m{ }}1} ight)^2} = left( {4{a^2} + { m{ }}4a{ m{ }} + { m{ }}1} ight){ m{ }}-{ m{ }}left( {4{b^2} + { m{ }}4b{ m{ }} + 1} ight))

( = left( {4{a^2} + { m{ }}4a} ight){ m{ }}-{ m{ }}left( {4{b^2} + { m{ }}4b} ight){ m{ }} = { m{ }}4aleft( {a{ m{ }} + 1} ight){ m{ }}-{ m{ }}4bleft( {b{ m{ }} + { m{ }}1} ight))    

Vì tích của hai số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 nên a(a+1) và b(b+1) chia hết cho 2.

Do đó 4a(a + 1) và 4b(b + 1) chia hết cho 8

4a(a + 1) – 4b(b + 1) chia hết cho 8.

Vậy ({left( {2a{ m{ }} + { m{ }}1} ight)^2}-{ m{ }}{left( {2b{ m{ }} + { m{ }}1} ight)^2}) chia hết cho 8.