Bài 3 trang 113 Hình học 11: Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc...

Bài 3. Trong mặt phẳng ((alpha)) cho tam giác (ABC) vuông ở (B). Một đoạn thẳng (AD) vuông góc với ((alpha)) tại (A). Chứng minh rằng:

a) (widehat {ABD}) là góc giữa hai mặt phẳng ((ABC)) và ((DBC));

b) Mặt phẳng ((ABD)) vuông góc với mặt phẳng ((BCD));

c) (HK//BC) với (H) và (K) lần lượt là giao điểm của (DB) và (DC) với mặt phẳng ((P)) đi qua (A) và vuông góc với (DB).

Giải

a) Tam giác (ABC) vuông tại (B) nên (ABot BC)    (1)

(AD) vuông góc với ((alpha)) nên (ADot BC)                (2)

Từ (1) và (2) suy ra (BCot (ABD)) suy ra (BCot BD)

(left. matrix{
(ABC) cap (DBC) = BC hfill cr
BD ot BC hfill cr
AB ot BC hfill cr} ight} Rightarrow ) góc giữa hai mặt phẳng ((ABC)) và ((DBC)) là góc  (widehat {ABD})

b) 

(left. matrix{
BC ot (ABD) hfill cr
BC subset (BCD) hfill cr} ight} Rightarrow (ABD) ot (BCD))

c) 

 Mặt phẳng ((P)) đi qua (A) và vuông góc với (DB) nên (HKot BC)

Trong ((BCD)) có: (HKot BC) và (BCot BD) nên suy ra (HK// BC).