Bài 3.7 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Giải các phương trình sau: ...
Giải các phương trình sau:
Giải các phương trình sau:
a) (1 + sin x - cos x - sin 2x + 2cos 2x = 0)
b) (sin x - {1 over {sin x}} = {sin ^2}x - {1 over {{{sin }^2}x}})
c) (cos x an 3x = sin 5x)
d) (2{ an ^2}x + 3 an x + 2{cot ^2}x + 3cot x + 2 = 0)
Giải:
a) (1 + sin x - cos x - sin 2x + 2cos 2x = 0{ m{ }}left( 1 ight))
Ta có:
(eqalign{
& 1 - sin 2x = {left( {sin x - cos x}
ight)^2}; cr
& 2cos 2x = 2left( {{{cos }^2}x - {{sin }^2}x}
ight) cr
& = - 2left( {sin x - cos x}
ight)left( {sin x + cos x}
ight), cr} )
Vậy
(eqalign{
& left( 1
ight) Leftrightarrow left( {sin x - cos x}
ight)left( {1 + sin x - cos x - 2sin x - 2cos x}
ight) = 0 cr
& Leftrightarrow left( {sin x - cos x}
ight)left( {1 - sin x - 3cos x}
ight) = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
sin x = cos x hfill cr
3cos x + sin x = 1 hfill cr}
ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
an x = 1 hfill cr
{3 over {sqrt {10} }}cos x + {1 over {sqrt {10} }}sin x = {1 over {sqrt {10} }} hfill cr}
ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = {pi over 4} + kpi ,k in Z hfill cr
x = alpha pm arccos {1 over {sqrt {10} }} + k2pi ,k in Z hfill cr}
ight. cr} )
trong đó, (cos alpha = {3 over {sqrt {10} }},sin alpha = {1 over {sqrt {10} }})
b) (sin x - {1 over {sin x}} = {sin ^2}x - {1 over {{{sin }^2}x}}left( 2 ight))
Điều kiện sinx ≠ 0
(eqalign{
& left( 2
ight) Leftrightarrow left( {sin x - {{sin }^2}x}
ight) + left( {{1 over {{{sin }^2}x}} - {1 over {sin x}}}
ight) = 0 cr
& Leftrightarrow sin xleft( {1 - sin x}
ight) + {{1 - sin x} over {{{sin }^2}x}} = 0 cr
& Leftrightarrow left( {1 - sin x}
ight)left( {{{sin }^3}x + 1}
ight) = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
sin x = 1 hfill cr
sin x = - 1 hfill cr}
ight. Rightarrow x = {pi over 2} + kpi ,k in Z cr} )
(thỏa mãn điều kiện)
c) (cos x an 3x = sin 5xleft( 3 ight))
Điều kiện: cos3x ≠ 0. Khi đó,
(eqalign{
& left( 3
ight) Leftrightarrow cos xsin 3x = cos 3xsin 5x cr
& Leftrightarrow {1 over 2}left( {sin 4x + sin 2x}
ight) = {1 over 2}left( {sin 8x + sin 2x}
ight) cr
& Leftrightarrow sin 8x = sin 4x cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
8x = 4x + k2pi ,k in Z hfill cr
8x = pi - 4x + k2pi ,k in Z hfill cr}
ight. cr
& Rightarrow left[ matrix{
x = k{pi over 2},k in Z hfill cr
x = {pi over {12}} + k{pi over 6},k in Z hfill cr}
ight. cr} )
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là:
(x = kpi ,k in Z) và (x = {pi over {12}} + k{pi over 6},k in Z)
d) (2{ an ^2}x + 3 an x + 2{cot ^2}x + 3cot x + 2 = 0left( 4 ight))
Điều kiện: cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0. Khi đó,
(eqalign{
& left( 4
ight) Leftrightarrow 2left( {{{ an }^2}x + {{cot }^2}x}
ight) + 3left( { an x + cot x}
ight) + 2 = 0 cr
& Leftrightarrow 2left[ {{{left( { an x + cot x}
ight)}^2} - 2}
ight] + 3left( { an x + cot x}
ight) + 2 = 0 cr})
Đặt t = tanx + cotx ta được phương trình
(2{t^2} + 3t - 2 = 0 Rightarrow t = - 2,t = {1 over 2})
Với t = -2 ta có tanx + cotx = -2
(eqalign{
& Leftrightarrow { an ^2}x + 2 an x + 1 = 0 Rightarrow an x = - 1 cr
& Rightarrow x = - {pi over 4} + kpi ,k in Z{
m{ }} cr} )
(thỏa mãn điều kiện)
Với (t = {1 over 2}) ta có ( an x + cot x = {1 over 2} Leftrightarrow 2{ an ^2}x - an x + 2 = 0)
Phương trình này vô nghiệm.
Vậy nghiệm của phương trình (4) là (x = - {pi over 4} + kpi ,k in Z)
