Bài 3.45 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10
Cho elip (E) ...
Cho elip (E)
Cho elip (E): ({x^2} + 4{y^2} = 16).
a) Xác định tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của elip (E).
b) Viết phương trình đường thẳng (Delta ) đi qua điểm (Mleft( {1;{1 over 2}} ight)) và vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = (1;2))
c) Tìm tọa độ giao điểm A và B của đường thẳng (Delta ) và elip (E). Chứng minh MA = MB.
Gợi ý làm bài
a) (eqalign{
& (E):{x^2} + 4{y^2} = 16 cr
& Leftrightarrow {{{x^2}} over {16}} + {{{y^2}} over 4} = 1. cr} )
Ta có:
(eqalign{
& {a^2} = 16,{b^2} = 4 cr
& Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 12 cr} )
( Rightarrow c = 2sqrt 3 .)
Vậy (E) có hai tiêu điểm: ({F_1}left( { - 2sqrt 3 ;0} ight)) và ({F_2}left( {2sqrt 3 ;0} ight))
và các đỉnh ({A_1}left( { - 4;0} ight)), ({A_2}left( {4;0} ight)), ({B_1}left( {0; - 2} ight)), ({B_2}left( {0;2} ight))
b) Phương trình (Delta ) có dạng :
(1.(x - 1) + 2.(y - {1 over 2}) = 0)
hay (x + 2y - 2 = 0)
c) Tọa độ của giao điểm của (Delta ) và (E) là nghiệm của hệ :
(left{ matrix{
{x^2} + 4{y^2} = 16,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(1) hfill cr
x = 2 - 2y.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2) hfill cr}
ight.)
Thay (2) vào (1) ta được :
({left( {2 - y} ight)^2} + 4{y^2} = 16)
( Leftrightarrow {(1 - y)^2} + {y^2} = 4)
( Leftrightarrow 2{y^2} - 2y - 3 = 0.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(3))
Phương trình (3) có hai nghiệm ({y_A}), ({y_B}) thỏa mãn
({{{y_A} + {y_B}} over 2} = {2 over 4} = {1 over 2} = {y_M}.)
Vậy MA = MB.
Ta có: ({y_A} = {{1 - sqrt 7 } over 2}), ({y_B} = {{1 + sqrt 7 } over 2})
({x_A} = 1 + sqrt 7 ), ({x_B} = 1 - sqrt 7 )
Vậy A có tọa độ là (left( {1 + sqrt 7 ;{{1 - sqrt 7 } over 2}} ight)), B có tọa độ là (left( {1 - sqrt 7 ;{{1 + sqrt 7 } over 2}} ight).)
Sachbaitap.net