Bài 3.44 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho elip (E)

Cho elip (E) : ({{{x^2}} over {25}} + {{{y^2}} over 9} = 1) và đường thẳng  (Delta ) thay đổi có phương trình tổng quát Ax + By + C = 0 luôn thỏa mãn (25{A^2} + 9{B^2} = {C^2}). Tính tích khoảng cách từ hai tiêu điểm  ({F_1}), ({F_2}) của (E) đến đường thẳng (Delta )

Gợi ý làm bài

((E):{{{x^2}} over {25}} + {{{y^2}} over 9} = 1)

Ta có:

({a^2} = 25,{b^2} = 9 Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 16)

( Rightarrow c = 4.)

Vậy (E) có hai tiêu điểm là ({F_1}left( { - 4;0} ight)) và ({F_2}left( {4;0} ight)). Ta có : 

({d_1} = d({F_1},Delta ) = {{left| { - 4A + C} ight|} over {sqrt {{A^2} + {B^2}} }})

({d_2} = d({F_2},Delta ) = {{left| {4A + C} ight|} over {sqrt {{A^2} + {B^2}} }})

Suy ra: 

({d_1}{d_2} = {{left| {{C^2} - 16{A^2}} ight|} over {{A^2} + {B^2}}}.,,,(1))

Thay ({C^2} = 25{A^2} + 9{B^2}) vào (1) ta được : 

(eqalign{
& {d_1}{d_2} = {{left| {25{A^2} + 9{B^2} - 16{A^2}} ight|} over {{A^2} + {B^2}}} cr
& = {{9({A^2} + {B^2})} over {{A^2} + {B^2}}} cr} )

Vậy ({d_1}{d_2} = 9.)

Sachbaitap.net