Bài 3.4 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11: Giải các phương trình sau...

Giải các phương trình sau

a) (2 an x – 3cot x – 2 = 0)

b) ({cos ^2}x = 3sin 2x + 3)

c) (cot x – cot 2x = an x + 1)

Giải

a) (2 an x – 3cot x – 2 = 0) Điều kiện cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0

Ta có 

(eqalign{
& { m{2}} an x – {3 over { an x}} – 2 = 0 cr
& Leftrightarrow 2{ an ^2}x – 2 an x – 3 = 0 cr
& Leftrightarrow an x = {{1 pm sqrt 7 } over 2} cr
& Rightarrow left[ matrix{
x = arctan left( {{{1 + sqrt 7 } over 2}} ight) + kpi ,k in { m Z} hfill cr
x = arctan left( {{{1 – sqrt 7 } over 2}} ight) + kpi ,k in { m Z} hfill cr} ight. cr})

Các giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình

b) ({cos ^2}x = 3sin 2x + 3)

Ta thấy cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Với cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos²x ta được:

(eqalign{
& 1 = 6 an x + 3left( {1 + {{ an }^2}x} ight) cr
& Leftrightarrow 3{ an ^2}x + 6 an x + 2 = 0 cr
& Leftrightarrow an x = {{ – 3 pm sqrt 3 } over 3} cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = arctan left( {{{ – 3 + sqrt 3 } over 3}} ight) + kpi ,k in { m Z} hfill cr
x = arctan left( {{{ – 3 – sqrt 3 } over 3}} ight) + kpi ,k in { m Z} hfill cr} ight. cr} )

c) (cot x – cot 2x = an x + 1)      (1)

Điều kiện: sinx ≠ 0 và cosx ≠ 0. Khi đó:

(eqalign{
& left( 1 ight) Leftrightarrow {{cos x} over {sin x}} – {{cos 2x} over {sin 2x}} = {{sin x} over {cos x}} + 1 cr
& Leftrightarrow 2{cos ^2}x – cos 2x = 2{sin ^2}x + sin 2x cr
& Leftrightarrow 2left( {{{cos }^2}x – {{sin }^2}x} ight) – cos 2x = sin 2x cr
& Leftrightarrow cos 2x = sin 2x cr
& Leftrightarrow an 2x = 1 cr
& Rightarrow 2x = {pi over 4} + kpi ,k in Z cr
& Rightarrow x = {pi over 8} + k{pi over 2},k in Z cr} )

Các giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình