Bài 3.33 trang 162 Sách bài tập (SBT) Hình học 11: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh rằng khoảng...

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh rằng khoảng cách từ các điểm A’, B, D; C, B’, D tới đường chéo AC’ bằng nhau. Tính khoảng cách đó.

Giải:

Điểm A cách đều ba đỉnh của tam giác đều A’BD vì ta có (AB = A{ m{D}} = AA’ = a), điểm C’ cũng cách đều ba đỉnh của tam giác đều đó vì ta có: 

(C’B = C’D = C’A’ = asqrt 2 )

Vậy AC’ là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BD, tức là đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD) tại trọng tâm I của tam giác A’BD. Ta cần tìm khoảng cách A’I.

Ta có (A’I = BI = DI = {2 over 3}A’O) với O là tâm của hình vuông ABCD

Ta lại có (AO’ = B{ m{D}}{{sqrt 3 } over 2})

( = asqrt 2 .{{sqrt 3 } over 2} = {{asqrt 6 } over 2})

Vậy (A’I = {2 over 3}A’O = {2 over 3}.{{asqrt 6 } over 2} = {{asqrt 6 } over 3})

Tương tự điểm C’ cách đều ba đỉnh của tam giác đều CB’D’, tính được khoảng cách từ C, B’, D’ tới đường chéo AC’.