Bài 3.31 trang 153 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Giả sử (left( alpha   ight)) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với cạnh SC, (left( alpha   ight)) cắt SC tại I.

a) Xác định giao điểm K của SO với mặt phẳng (left( alpha   ight)).

b) Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và (B{ m{D}}parallel left( alpha   ight)).

c) Xác định giao tuyến d của mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (left( alpha   ight)). Tìm thiết diện cắt hình chóp S.ABCD bởi mặt phẳng (left( alpha   ight)).

Giải:

a) Gọi I là giao điểm của mặt phẳng (left( alpha   ight)) với cạnh SC. Ta có (left( alpha   ight) ot SC,AI subset left( alpha   ight) Rightarrow SC ot AI). Vậy AI là đường cao của tam giác vuông SAC. Trong mặt phẳng (SAC), đường cao AI cắt SO tại K và (AI subset left( alpha   ight)), nên K là giao điểm của SO với (left( alpha   ight)).

b) Ta có

(left. matrix{
B{ m{D}} ot AC hfill cr
B{ m{D}} ot SA hfill cr} ight} Rightarrow B{ m{D}} ot left( {SAC} ight)) 

( Rightarrow B{ m{D}} ot SC)

Mặt khác (B{ m{D}} subset left( {SB{ m{D}}} ight)) nên (left( {SB{ m{D}}} ight) ot left( {SAC} ight)).

Vì (B{ m{D}} ot SC) và (left( alpha   ight) ot SC) nhưng BD không chứa trong (left( alpha   ight)) nên (B{ m{D}}parallel left( alpha   ight))

Ta có (K = SO cap left( alpha   ight)) và SO thuộc mặt phẳng (SBD) nên K là một điểm chung của (left( alpha   ight)) và (SBD). Mặt phẳng (SBD) chứa (B{ m{D}}parallel left( alpha   ight)) nên cắt  theo giao tuyến (dparallel B{ m{D}}). Giao tuyến này đi qua K là điểm chung của (left( alpha   ight)) và (SBD). Gọi M và N lần lượt là giao điểm của d với SB và SD. Ta được thiết diện là tứ giác AIMN vuông góc với SC và đường chéo MN song song với BD.

Sachbaitap.com