Bài 2.50 trang 87 Sách bài tập (SBT) Hình học 11
Cho tứ diện ABCD. Tìm vị trí điểm M trong không gian sao cho: ...
Cho tứ diện ABCD. Tìm vị trí điểm M trong không gian sao cho:
Cho tứ diện ABCD. Tìm vị trí điểm M trong không gian sao cho:
(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{ m{D}}^2}) đạt giá trị cực tiểu.
Giải:
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Ta có:
(M{A^2} + M{B^2} = 2M{E^2} + {1 over 2}A{B^2},,,,,left( 1 ight))
(M{C^2} + M{D^2} = 2M{F^2} + {1 over 2}C{{ m{D}}^2},,,,,left( 2 ight))
Cộng (1) và (2) ta có:
(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{ m{D}}^2})
( = 2left( {M{E^2} + M{F^2}} ight) + {1 over 2}left( {A{B^2} + C{{ m{D}}^2},,} ight),,)
Gọi J là trung điểm của EF, ta có:
(left( {M{E^2} + M{F^2}} ight) = 2M{J^2}, + {1 over 2}E{F^2})
Khi đó:
(eqalign{
& M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{
m{D}}^2} cr
& = 2left( {2M{J^2}, + {1 over 2}E{F^2}}
ight) + {1 over 2}left( {A{B^2} + C{{
m{D}}^2}}
ight) cr
& ge E{F^2} + {1 over 2}left( {A{B^2} + C{{
m{D}}^2}}
ight) cr} )
Vậy (M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{ m{D}}^2}) đạt giá trị nhỏ nhất khi (M equiv J).
Sachbaitap.com