Bài 2.50 trang 87 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Cho tứ diện ABCD. Tìm vị trí điểm M trong không gian sao cho:

Cho tứ diện ABCD. Tìm vị trí điểm M trong không gian sao cho:

(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{ m{D}}^2}) đạt giá trị cực tiểu.

Giải:

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Ta có:

(M{A^2} + M{B^2} = 2M{E^2} + {1 over 2}A{B^2},,,,,left( 1 ight)) 

(M{C^2} + M{D^2} = 2M{F^2} + {1 over 2}C{{ m{D}}^2},,,,,left( 2 ight)) 

Cộng (1) và (2) ta có:

(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{ m{D}}^2})

( = 2left( {M{E^2} + M{F^2}} ight) + {1 over 2}left( {A{B^2} + C{{ m{D}}^2},,} ight),,) 

Gọi J là trung điểm của EF, ta có:

(left( {M{E^2} + M{F^2}} ight) = 2M{J^2}, + {1 over 2}E{F^2}) 

Khi đó:

(eqalign{
& M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{ m{D}}^2} cr
& = 2left( {2M{J^2}, + {1 over 2}E{F^2}} ight) + {1 over 2}left( {A{B^2} + C{{ m{D}}^2}} ight) cr
& ge E{F^2} + {1 over 2}left( {A{B^2} + C{{ m{D}}^2}} ight) cr} ) 

Vậy (M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{ m{D}}^2}) đạt giá trị nhỏ nhất khi (M equiv J).

Sachbaitap.com