Bài 3.24 trang 152 SBT Hình học 11: Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD...
Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD . Bài 3.24 trang 152 Sách bài tập (SBT) Hình học 11 – Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD có (AB ot C{ m{D}}) và (AC ot B{ m{D}}) thì (AD ot BC). Giải: Vẽ (AH ot left( {BC{ m{D}}} ight)) tại H, ta có (C{ m{D}} ot ...
Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD có (AB ot C{ m{D}}) và (AC ot B{ m{D}}) thì (AD ot BC).
Giải:
Vẽ (AH ot left( {BC{ m{D}}} ight)) tại H, ta có (C{ m{D}} ot AH) và vì (C{ m{D}} ot AB) ta suy ra (C{ m{D}} ot BH). Tương tự vì ({ m{BD}} ot AC) ta suy ra ({ m{BD}} ot CH)
Vậy H là trực tâm của tam giác BCD tức là (DH ot BC)
Vì (AH ot BC) nên ta suy ra (BC ot A{ m{D}})
Cách khác . Trước hết ta hãy chứng minh hệ thức:
(overrightarrow {AB} .overrightarrow {C{ m{D}}} + overrightarrow {AC} .overrightarrow {DB} + overrightarrow {{ m{AD}}} .overrightarrow {BC} = 0) với bốn điểm A, B, C, D bất kì.
Thực vậy , ta có:
(eqalign{
& overrightarrow {AB} .overrightarrow {C{
m{D}}} = overrightarrow {AB} .left( {overrightarrow {{
m{AD}}} – overrightarrow {AC} }
ight) = overrightarrow {AB} .overrightarrow {{
m{AD}}} – overrightarrow {AC} .overrightarrow {AB} ,,,,,,,left( 1
ight) cr
& overrightarrow {AC} .overrightarrow {DB} = overrightarrow {AC} .left( {overrightarrow {AB} – overrightarrow {{
m{AD}}} }
ight) = overrightarrow {AC} .overrightarrow {AB} – overrightarrow {AC} .overrightarrow {{
m{AD}}} ,,,,,,left( 2
ight) cr
& overrightarrow {{
m{AD}}} .overrightarrow {BC} = overrightarrow {{
m{AD}}} .left( {overrightarrow {AC} – overrightarrow {AB} }
ight) = overrightarrow {{
m{AD}}} .overrightarrow {AC} – overrightarrow {{
m{AD}}} .overrightarrow {AB} ,,,,,,,left( 3
ight) cr} )
(left( 1 ight) + left( 2 ight) + left( 3 ight) Leftrightarrow overrightarrow {AB} .overrightarrow {C{ m{D}}} + overrightarrow {AC} .overrightarrow {DB} + overrightarrow {AD} .overrightarrow {BC} = 0,,,,,,left( 4 ight))
Do đó nếu (AB ot CD) nghĩa là (overrightarrow {AB} .overrightarrow {C{ m{D}}} = 0,,), (AC ot BD) nghĩa là (overrightarrow {AC} .overrightarrow {B{ m{D}}} = 0,,)
Từ hệ thức (4) ta suy ra (overrightarrow {AD} .overrightarrow {BC} = 0,,), do đó (A{ m{D}} ot BC).
