Bài 3.11 trang 141 Sách bài tập Hình học 11: Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC....

Cho hình chóp A.ABC có (SA = SB = SC = AB = AC = a) và (BC = asqrt 2 ). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

Giải:

Cách thứ nhất

Dễ thấy tam giác ABC vuông tại A nên (overrightarrow {AC} .overrightarrow {AB}  = 0) và tam giác SAB đều nên (left( {overrightarrow {SA} ,overrightarrow {AB} } ight) = {120^0}).

(eqalign{
& overrightarrow {SC} .overrightarrow {AB} = left( {overrightarrow {SA} + overrightarrow {AC} } ight).overrightarrow {AB} cr
& = overrightarrow {SA} .overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} .overrightarrow {AB} cr
& left| {overrightarrow {SA} } ight|.left| {overrightarrow {AB} } ight|.cos 120^circ = – {{{a^2}} over 2} cr
& Rightarrow cos left( {overrightarrow {SC} ,overrightarrow {AB} } ight) = {{overrightarrow {SC} .overrightarrow {AB} } over {left| {overrightarrow {SC} } ight|.left| {overrightarrow {AB} } ight|}} cr
& = {{ – {{{a^2}} over 2}} over {{a^2}}} = – {1 over 2} cr})

Do đó góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 60°

Cách thứ hai

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB. AC. Để tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB, ta cần tính (widehat {NMP}).

Ta có

(NB = MP = {a over 2},S{P^2} = {{3{a^2}} over 4},B{P^2} = {{5{a^2}} over 4})

(P{B^2} + S{P^2} = 2N{P^2} + {{S{B^2}} over 2} Rightarrow N{P^2} = {{3{{ m{a}}^2}} over 4})

Mặt khác:

(N{P^2} = N{M^2} + M{P^2} – 2MN.MPcos widehat {NMP})

( Rightarrow cos widehat {NMP} =  – {{{{{a^2}} over 4}} over {2.{a over 2}.{a over 2}}} =  – {1 over 2} Rightarrow widehat {NMP} = {120^0})

Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 60°.