Bài 26 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 26 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm các căn bậc hai của

Bài 26

a) Dùng công thức cộng trong lượng giác để chứng minh rằng với mọi số thực (varphi ), ta có  ({left( {cos varphi  + isin varphi } ight)^2} = cos 2varphi  + isin 2varphi ).

Từ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phức (cos 2varphi  + isin 2varphi ). Hãy so sánh cách giải này với cách giải trong bài học ở bài 2.

b) Tìm các căn bậc hai của ({{sqrt 2 } over 2}left( {1 - i} ight)) bằng hai cách nói ở câu a).

Giải

a) Với mọi (varphi ) ta có: ({left( {cos varphi  + isin varphi } ight)^2} = {cos ^2}varphi  - {sin ^2}varphi  + left( {2sin varphi cos varphi } ight)i)

( = cos 2varphi  + isin 2varphi )

Vậy các căn bậc hai của (cos 2varphi  + isin 2varphi ) là ( pm left( {cos varphi  + isin varphi } ight))

Theo cách giải trong bài học, để tìm căn bậc hai của(cos 2varphi  + isin 2varphi ) ta giải hệ phương trình(left{ matrix{  {x^2} - {y^2} = cos 2varphi  hfill cr 2xy = sin 2varphi  hfill cr}  ight.)

Rõ ràng hệ có các nghiệm (left( {cos varphi ,sin varphi } ight),left( { - cos varphi , - sin varphi } ight)) do đó( pm left( {cos varphi  + isin varphi } ight)) là hai căn bậc hai của(cos 2varphi  + isin 2varphi ). Ta biết rằng chỉ có hai căn như thế nên đó là tất cả các căn bậc hai cần tìm.

b) ({{sqrt 2 } over 2}left( {1 - i} ight) = cos {pi  over 4} - isin {pi  over 4} = cos left( { - {pi  over 4}} ight) + isin left( { - {pi  over 4}} ight) ext{ thì theo câu a) }, {{sqrt 2 } over 2}left( {1 - i} ight)) có hai căn bậc hai là ( pm left( {cos left( {{{ - pi } over 8}} ight) + isin left( {{{ - pi } over 8}} ight)} ight) =  pm left( {cos {pi  over 8} - isin {pi  over 8}} ight))

Mà (eqalign{  & cos {pi  over 8} = sqrt {{{1 + cos {pi  over 4}} over 2}}  = sqrt {{{1 + {{sqrt 2 } over 2}} over 2}}  = {1 over 2}sqrt {2 + sqrt 2 }   cr  & sin {pi  over 8} = sqrt {{{1 - cos {pi  over 4}} over 2}}  = sqrt {{{1 - {{sqrt 2 } over 2}} over 2}}  = {1 over 2}sqrt {2 - sqrt 2 }  cr} )

Vậy hai căn bậc hai cần tìm là ( pm {1 over 2}left( {sqrt {2 + sqrt 2 }  - isqrt {2 - sqrt 2 } } ight))

Còn theo bài học, việc tìm các căn bậc hai của({{sqrt 2 } over 2}left( {1 - i} ight)) đưa về việc giải hệ phương trình(left{ matrix{  {x^2} - {y^2} = {{sqrt 2 } over 2} hfill cr  2xy =  - {{sqrt 2 } over 2} hfill cr}  ight.)

Hệ đó tương đương với (left{ matrix{  8{x^4} - 4sqrt 2 {x^2} - 1 = 0 hfill cr  y =  - {{sqrt 2 } over {4x}} hfill cr}  ight. Leftrightarrow left{ matrix{  {x^2} = {{sqrt 2  + 2} over 4} hfill cr  y =  - {{sqrt 2 } over {4x}} hfill cr}  ight.)

nên có các nghiệm là: (left( {{{sqrt {2 + sqrt 2 } } over 2};{{ - sqrt {2 - sqrt 2 } } over 2}} ight),left( {{{ - sqrt {2 + sqrt 2 } } over 2};{{sqrt {2 - sqrt 2 } } over 2}} ight))

Vậy ta lại được hai căn bậc hai đã viết ở trên.      

soanbailop6.com