Bài 24 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 24 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Giải các phương trình sau trên C và biểu diễn hình hợp tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình (trong mặt phẳng phức):

Bài 24

Giải các phương trình sau trên C và biểu diễn hình hợp tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình (trong mặt phẳng phức):

a)({z^3} + 1 = 0);                                               

b) ({z^4} - 1 = 0);

c) ({z^4} + 4 = 0);                                          

d) (8{z^4} + 8{z^3} = z + 1).

Giải

a) ({z^3} + 1 = 0 Leftrightarrow left( {z + 1} ight)left( {{z^2} - z + 1} ight) = 0)

Nghiệm của (z + 1 = 0) là ({z_1} =  - 1)

({z^2} - z + 1 = 0 Leftrightarrow {left( {z - {1 over 2}} ight)^2} =  - {3 over 4} = {left( {{{sqrt 3 } over 2}i} ight)^2})              

                      ( Leftrightarrow left[ matrix{  z = {1 over 2} + {{sqrt 3 } over 2}i = {z_2} hfill cr  z = {1 over 2} - {{sqrt 3 } over 2}i = {z_3} hfill cr}  ight.)

Vậy (S = left{ { - 1;{1 over 2} + {{sqrt 3 } over 2}i;{1 over 2} - {{sqrt 3 } over 2}i} ight})

 

b) ({z^4} - 1 = 0 Leftrightarrow left( {{z^2} - 1} ight)left( {{z^2} + 1} ight) = 0)

                   ( Leftrightarrow left[ matrix{  {z^2} - 1 = 0 hfill cr  {z^2} + 1 = 0 hfill cr}  ight. Leftrightarrow left[ matrix{  z =  pm 1 hfill cr  z =  pm i hfill cr}  ight.)

Phương trình có 4 nghiệm ({z_1} = i,{z_2} =  - i,{z_3} = 1,{z_4} =  - 1)

 

c) ({z^4} + 4 = 0 Leftrightarrow left( {{z^2} + 2i} ight)left( {{z^2} - 2i} ight) = 0)

Nghiệm của ({z^2} + 2i = 0) là các căn bậc hai của -2i, đó là ({z_1} = 1 - i),({z_2} =  - 1 + i)

Nghiệm của ({z^2} - 2i = 0) là các căn bậc hai của 2i, đó là ({z_3} = 1 + i),({z_4} =  - 1 - i)

Vậy ({z^4} + 4 = 0) có bốn nghiệm ({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}).

 

d) (8{z^4} + 8{z^3} = z + 1 Leftrightarrow left( {z + 1} ight)left( {8{z^3} - 1} ight) = 0)

                          ( Leftrightarrow left( {z + 1} ight)left( {2z - 1} ight)left( {4{z^2} + 2z + 1} ight) = 0)

Nghiệm của (z + 1 = 0) là ({z_1} =  - 1)

Nghiệm của (2z - 1 = 0) là ({z_2} = {1 over 2})

Nghiệm của (4{z^2} + 2z + 1 = 0) hay ({left( {2z + {1 over 2}} ight)^2} + {3 over 4} = 0)là ({z_3} =  - {1 over 4} + {{sqrt 3 } over 4}i)  và({z_4} =  - {1 over 4} - {{sqrt 3 } over 4}i)

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm({z_1},{z_2},{z_3},{z_4})

soanbailop6.com