Bài 20 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao
Cho hai đường thẳng sau: ...
Cho hai đường thẳng sau:
Cho hai đường thẳng
(eqalign{
& {Delta _1}:x + 2y - 3 = 0 cr
& {Delta _2}:3x - y + 2 = 0 cr} )
Viết phương trình đường thẳng (Delta ) đi qua điểm P(3, 1) và cắt lần lượt ở A,B sao cho ({Delta _1},{Delta _2}) tạo với ({Delta _1}) và ({Delta _2}) một tam giác cân có cạnh đáy là AB.
Giải
({Delta _1}) có vectơ pháp tuyến là: (overrightarrow {{n_1}} left( {1;2} ight).)
({Delta _2}) có vectơ pháp tuyến là: (overrightarrow {{n_2}} left( {3; - 1} ight).)
Giả sử (Delta ) qua P có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n left( {a;b} ight);,Delta ) cắt ({Delta _1},{Delta _2}) ở A và B sao cho tạo với một tam giác cân có đáy AB thì góc hợp bởi (Delta ) với ({Delta _1})và góc hợp bởi (Delta ) với ({Delta _2}) bằng nhau.
Do đó:
(eqalign{
& {{left| {overrightarrow {{n_1}} .overrightarrow n }
ight|} over {left| {overrightarrow {{n_1}} }
ight|.left| {overrightarrow n }
ight|}} = {{left| {overrightarrow {{n_2}} .overrightarrow n }
ight|} over {left| {overrightarrow {{n_2}} }
ight|.left| {overrightarrow n }
ight|}} cr
& Leftrightarrow {{|a + 2b|} over {sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = {{|3a - b|} over {sqrt {{3^2} + {1^2}} }} cr
& Leftrightarrow sqrt 2 |a + 2b| = |3a - b| cr
& Leftrightarrow 2{left( {a + 2b}
ight)^2} = {left( {3a - b}
ight)^2} cr
& Leftrightarrow {a^2} - 2ab - {b^2} = 0 cr} )
Chọn (b = 1) ta có: ({a^2} - 2a - 1 = 0 Leftrightarrow a = 1 pm sqrt 2 )
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán
(left( {1 + sqrt 2 } ight)left( {x - 3} ight) + left( {y - 1} ight) = 0;)
(left( {1 - sqrt 2 } ight)left( {x - 3} ight) + left( {y - 1} ight) = 0.)
soanbailop6.com