Bài 2.5 trang 23 Sách bài tập Đại số và giải tích 11: Tìm những giá trị của x để giá trị của các hàm số tương ứng...

Tìm những giá trị của x để giá trị của các hàm số tương ứng sau bằng nhau

a) (y = cos left( {2x – {pi  over 3}} ight)$ và $y = cos left( {{pi  over 4} – x} ight))

b) (y = sin left( {3x – {pi  over 4}} ight)$ và $y = sin left( {x + {pi  over 6}} ight))

c) (y = an left( {2x + {pi  over 5}} ight)$ và $y = an left( {{pi  over 5} – x} ight))     

d) (y = cot 3x) và (y = cot left( {x + {pi  over 3}} ight))  

Giải:

a)

(eqalign{
& cos left( {2x – {pi over 3}} ight) = cos left( {{pi over 4} – x} ight) cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
2x – {pi over 3} = {pi over 4} – x + k2pi ,k in Z hfill cr
2x – {pi over 3} = – {pi over 4} + x + k2pi ,k in Z hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
3x = {{7pi } over {12}} + k2pi ,k in Z hfill cr
x = {pi over {12}} + k2pi ,k in Z hfill cr} ight. cr} )

Vậy các giá trị cần tìm là: (x = {{7pi } over {36}} + k{{2pi } over 3},k in Z) và (x = {pi  over {12}} + k2pi ,k in Z)

b)

(eqalign{
& sin left( {3x – {pi over 4}} ight) = sin left( {x + {pi over 6}} ight) cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
3x – {pi over 4} = x + {pi over 6} + k2pi ,k in Z hfill cr
3x – {pi over 4} = pi – x – {pi over 6} + k2pi ,k in Z hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
2x = {{5pi } over {12}} + k2pi ,k in Z hfill cr
4x = {{13pi } over {12}} + k2pi ,k in Z hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = {{5pi } over {24}} + kpi ,k in Z hfill cr
x = {{13pi } over {48}} + k{pi over 2},k in Z hfill cr} ight. cr} )

Vậy các giá trị cần tìm là: (x = {{5pi } over {24}} + kpi ,k in Z) và (x = {{13pi } over {48}} + k{pi  over 2},k in Z)

c)

(eqalign{
& an left( {2x + {pi over 3}} ight) = an left( {{pi over 5} – x} ight) cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
cos left( {2x + {pi over 5}} ight) e 0;,,cos left( {{pi over 5} – x} ight) e 0left( 1 ight) hfill cr
2x + {pi over 5} = {pi over 5} – x + kpi ,k in Zleft( 2 ight) hfill cr} ight. cr
& left( 2 ight) Leftrightarrow x = {{kpi } over 3},k in Z cr} )

Các giá trị này thỏa mãn điều kiện (1). Vậy ta có: (x = {{kpi } over 3},k in Z)

d) 

(eqalign{
& cot 3x = cot left( {x + {pi over 3}} ight) cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
sin 3x e 0;,,sin left( {x + {pi over 3}} ight) e 0,,,,,left( 3 ight) hfill cr
3x = x + {pi over 3} + kpi ,k in Z,,,,left( 4 ight) hfill cr} ight. cr
& left( 4 ight) Leftrightarrow x = {pi over 6} + {{kpi } over 2},k in Z cr} )

Nếu k = 2m + 1, m ∈ Z thì các giá trị này không thỏa mãn điều kiện (3).

Suy ra các giá trị cần tìm là (x = {pi  over 6} + mpi ,m in Z)