Bài 2.16 trang 67 SBT Đại số và giải tích 11: Sử dụng đồng nhất thức để chứng minh rằng...

Sử dụng đồng nhất thức ({k^2} = C_k^1 + 2C_k^2) để chứng minh rằng 

({1^2} + {2^2} + … + {n^2} = sumlimits_{k = 1}^n {C_k^1}  + 2sumlimits_{K = 2}^N {C_k^2 = {{nleft( {n + 1} ight)left( {2n + 1} ight)} over 6}})

Giải:

Ta có:

(A = sumlimits_{k = 1}^n {{k^2}}  = sumlimits_{k = 1}^n {C_k^1}  + 2sumlimits_{K = 2}^N {C_k^2.} )

Kết hợp với (C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n – 1}^k + … + C_{k + 1}^k + C_k^k), ta được

(A = C_{n + 1}^2 + 2C_{n + 1}^3 = {{nleft( {n + 1} ight)} over 2} + {{left( {n – 1} ight)nleft( {n + 1} ight)} over 3})

(= {{nleft( {n + 1} ight)left( {2n + 1} ight)} over 6})