Bài 2.15 trang 71 Sách bài tập (SBT) Hình học 11
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với đáy là AD và BC. Biết AD = a, BC = b. ...
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với đáy là AD và BC. Biết AD = a, BC = b.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với đáy là AD và BC. Biết AD = a, BC = b. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD lần lượt tại P, Q.
a) Chứng minh MN song song với PQ.
b) Giả sử AM cắt BP tại E; CQ cắt DN tại F. Chứng minh rằng EF song song với MN và PQ. Tính EF theo a và b.
Giải:
(h.2.33)
a)
Ta có: (I in left( {SA{ m{D}}} ight) Rightarrow I in left( {SA{ m{D}}} ight) cap left( {IBC} ight))
Vậy
(left{ matrix{
A{
m{D}}parallel BC hfill cr
A{
m{D}} subset left( {SA{
m{D}}}
ight) hfill cr
BC subset left( {IBC}
ight) hfill cr}
ight. Rightarrow left( {SA{
m{D}}}
ight) cap left( {IBC}
ight) = PQ)
và (PQparallel A{ m{D}}parallel BC ,,,,,,,,,,left( 1 ight))
Tương tự: (J in left( {SBC} ight) Rightarrow J in left( {SBC} ight) cap left( {JAD} ight))
Vậy
(left{ matrix{
A{
m{D}}parallel BC hfill cr
A{
m{D}} subset left( {JA{
m{D}}}
ight) hfill cr
BC subset left( {SBC}
ight) hfill cr}
ight. Rightarrow left( {JA{
m{D}}}
ight) cap left( {SBC}
ight) = MN) và (MNparallel BCparallel AD,,,,,,,left( 2
ight))
Từ (1) và (2) suy ra (PQparallel MN).
b) Ta có:
(E = AM cap BP Rightarrow left{ matrix{
E in left( {AMN{
m{D}}}
ight) hfill cr
E in left( {PBCQ}
ight) hfill cr}
ight.)
(F = DN cap CQ Rightarrow left{ matrix{
F in left( {AMN{
m{D}}}
ight) hfill cr
F in left( {PBCQ}
ight) hfill cr}
ight.)
Do đó: (EF = left( {AMN{ m{D}}} ight) cap left( {PBCQ} ight))
Mà
(left{ matrix{
A{
m{D}}parallel BC hfill cr
MNparallel PQ hfill cr}
ight.) suy ra (EFparallel A{
m{D}}parallel BCparallel MNparallel PQ)
Tính
(EF:CP cap EF = K Rightarrow EF = EK + KF)
(EKparallel BC Rightarrow {{EK} over {BC}} = {{PE} over {PB}},,,,,,,,,,,,,left( * ight))
(PMparallel AB Rightarrow {{PE} over {EB}} = {{PM} over {AB}})
Mà ({{PM} over {AB}} = {{SP} over {SA}} = {2 over 3}) suy ra ({{PE} over {EB}} = {2 over 3})
Từ (*) suy ra
(eqalign{
& {{EK} over {BC}} = {{PE} over {PB}} = {{PE} over {PE + EB}} cr
& = {1 over {1 + {{EB} over {PE}}}} = {1 over {1 + {3 over 2}}} = {2 over 5} cr
& Rightarrow EK = {2 over 5}BC = {2 over 5}b cr} )
Tương tự ta tính được (KF = {2 over 5}a)
Vậy: (EF = {2 over 5}a + {2 over 5}b = {2 over 5}left( {a + b} ight))
Sachbaitap.com
